Question

【題目】如圖，是的直徑，點為的中點，為的弦，且，垂足為，連接交于點，連接，，．

(1)求證：；

(2)若，求的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2).

【解析】

(1)根據點為的中點和垂徑定理可證CD=BF，再利用即可證得結論；

(2)解法一：連接，設的半徑為，由列出關于的方程就能求解；

解法二：如圖，作輔助線，構建角平分線和全等三角形，證明，得，再證明，得，進而可得和的長，易證，列比例式可求得的長，也就是的長；

解法三：連接，根據垂徑定理和三角形的中位線定理可得，再證明，然后利用勾股定理即可求出結果．

證明：(1)∵是的中點，∴，

∵是的直徑，且，∴，

∴，∴，

在和中，

∵，

∴；

(2)解法一：如圖，連接，設的半徑為，

中，，即，

中，，即，

∵，∴，∴，

∴，

即，

解得：(舍)或3，

∴，

∴；

解法二：如圖，過作交AD延長線于點，連接、，

∵，∴，

∵，∴，

∵，∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，∴，∴，

∵是的直徑，∴，∴，

∵，∴，

∴，

∴，

∴．

解法三：如圖，連接，交于，

∵是的中點，∴，∴，

∵，∴，

∵，，，

∴，

∴，，

∴，

∴．