Question

【題目】小明想要測量學校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發，向前走3米到達A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續走下臺階到達C處，測得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°．已知A點離地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B，C，D三點在同一直線上．

（1）求樹DE的高度；
（2）求食堂MN的高度．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，設DE=x，

∵AB=DF=2，

∴EF=DE﹣DF=x﹣2，

∵∠EAF=30°，

∴AF= = = （x﹣2），

又∵CD= = = x，BC= = =2 ，

∴BD=BC+CD=2 + x

由AF=BD可得 （x﹣2）=2 + x，

解得：x=6，

∴樹DE的高度為6米；

（2）解：延長NM交DB延長線于點P，則AM=BP=3，

由（1）知CD= x= ×6=2 ，BC=2 ，

∴PD=BP+BC+CD=3+2 +2 =3+4 ，

∵∠NDP=45°，且MP=AB=2，

∴NP=PD=3+4 ，

∴NM=NP﹣MP=3+4 ﹣2=1+4 ，

∴食堂MN的高度為1+4 米．

【解析】（1）由三角函數可列方程，在RtAEF中可根據∠EAF=30°，根據正切列出方程tan∠EAF=,求出x;（2）把45°角放到RtNPD中，因此須延長NM交地面于P，NP=PD=3+BC+CD=3+,因此食堂MN的高度為（3+-2） 米=（1+）米.