Question

【題目】已知△ABC中，AC=BC，∠C=120°，點D為AB邊的中點，∠EDF=60°，DE、DF分別交AC、BC與E、F點。

（1）如圖，若EF∥AB，求證DE=DF

（2）如圖，若EF與AB不平行，則問題（1）的結論是否成立？說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）成立，理由見解析.

【解析】

（1）根據SAS證明△ADE≌△BDF，再根據全等三角形的性質可得DE=DF；

（2）過D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．可證明DM=DN．再分一、當M與E重合時，N就一定與F重合．二、當M落在C、E之間時，N就一定落在B、F之間．三、當M落在A、E之間時，N就一定落在C、F之間．三種情況討論即可求解．

解：（1）∵EF∥AB．

∴∠FEC=∠A=30°．

∠EFC=∠B=30°

∴EC=CF．

又∵AC=BC

∴AE=BF

D是AB中點．

∴DB=AD

∴△ADE≌△BDF．

∴DE=DF

（2）如圖2，過D作DM⊥AC交AC于M，再作DN⊥BC交BC于N．,

∵AC=BC，

∴∠A=∠B，

又∵∠ACB=120°，

∴∠A=∠B=（180°-∠ACB）÷2=30°，

∴∠ADM=∠BDN=60°，

∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°．

∵AC=BC、AD=BD，

∴∠ACD=∠BCD，

∴DM=DN．

由∠MDN=60°、∠EDF=60°，可知：

當M與E重合時，N就一定與F重合．此時：

DM=DE、DN=DF，結合證得的DM=DN，得：DE=DF，但EF∥AB，不合題意．

當M落在C、E之間時，N就一定落在B、F之間．此時：

∠EDM=∠EDF-∠MDF=60°-∠MDF，

∠FDN=∠MDN-∠MDF=60°-∠MDF，

∴∠EDM=∠FDN，

又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE=DF．

當M落在A、E之間時，N就一定落在C、F之間．此時：

∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°-∠EDN，

∠FDN=∠EDF-∠EDN=60°-∠EDN，

∴∠EDM=∠FDN，

又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN，

∴△DEM≌△DFN（ASA），

∴DE=DF．

綜上①②③所述，得：DE=DF．