Question

【題目】如圖，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分別交CE、AE于點G、H.試猜測線段AE和BD的位置和數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】AE=BD，AE⊥BD

【解析】試題分析：由于條件可知CD=AC，BC=CE，且可求得∠ACE=∠DCB，所以△ACE≌△DCB，即AE=BD，∠CAE=∠CDB；又因為對頂角相∠AFC=∠DFH，所以∠DHF=∠ACD=90°，即AE⊥BD

試題解析：猜測AE=BD，AE⊥BD；

理由如下：

∵∠ACD=∠BCE=90°，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，

即∠ACE=∠DCB，

又∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，

∴AC=CD，CE=CB，（4分）

∵在△ACE與△DCB中，

AC＝DC

∠ACE＝∠DCB

EC＝BC

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴AE=BD，（6分）∠CAE=∠CDB；

∵∠AFC=∠DFH，∠FAC+∠AFC=90°，

∴∠DHF=∠ACD=90°，

∴AE⊥BD

故線段AE和BD的數量相等，位置是垂直關系