Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c過頂點A（0，2），以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側，△ABC有一個內角為60°．

（1）求拋物線的解析式.

（2）若MN與直線y＝﹣2x平行，M（x1，y1），N（x2，y2），M，N都在拋物線上，且M，N位于直線BC的兩側，y1＞y2，ME⊥BC于E，NF⊥BC于F，解決以下問題：

①求證：.

②求△MBC外心的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y＝﹣x2+2；（2）①證明見解析；②﹣＜y0≤0．

【解析】

（1）由頂點坐標為（0，2）可得c=2，由對稱軸為y軸可得b=0，△ABC為等腰三角形，根據有一個角是60°可得△ABC是等邊三角形，設線段BC與y軸的交點為點D，連接OB，根據垂徑定理可得BD＝CD，根據外心的定義可得∠OBD=30°，利用∠OBD的正弦和余弦值可求出OD和BD的長，即可得得B坐標，代入拋物線解析式可求出a值，即可得答案；（2）①根據MN與y=﹣2x平行設直線MN的解析式為y＝﹣2x+m，把M點坐標代入可得m＝﹣x12+2x1+2，即可得出MN的解析式，代入y＝﹣x2+2可用x1表示出x2，進而可表示出y2，分別用x1表示出∠MBE和∠NBF的正切函數即可得結論；②過M作ME⊥y軸于E，由y軸為BC的垂直平分線，可知△NBC的外心在y軸上，設外心P坐標為（0，y0），可得PB=PM，利用勾股定理可用y1表示出y0，根據y1的取值范圍即可得答案.

（1）∵拋物線過點A（0，2），

∴c＝2，

∴拋物線的對稱軸為y軸，且開口向下，即b＝0，

∵以O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線交于另兩點B，C，y軸為拋物線對稱軸，

∴B、C關于y軸對稱，

∴△ABC為等腰三角形，

∵△ABC中有一個角為60°，

∴△ABC為等邊三角形，且OC＝OA＝2，

設線段BC與y軸的交點為點D，連接OB，

∵AD⊥BC，AD過圓心，

∴BD＝CD，

∵O為△ABC的外心，△ABC為等邊三角形，

∴∠OBD＝30°，

∴BD＝OBcos30°＝，OD＝OBsin30°＝1，

∵B在C的左側，

∴B的坐標為（﹣，﹣1），

∵B點在拋物線上，且c＝2，b＝0，

∴3a+2＝﹣1，

解得：a＝﹣1，

則拋物線解析式為y＝﹣x2+2.

（2）①由（1）知，點M（x1，﹣x12+2），N（x2，﹣x22+2），

∵MN與直線y＝﹣2x平行，

∴設直線MN的解析式為y＝﹣2x+m，

∴﹣x12+2＝﹣2x1+m，即m＝﹣x12+2x1+2，

∴直線MN解析式為y＝﹣2x﹣x12+2x1+2，

把y＝﹣2x﹣x12+2x1+2代入y＝﹣x2+2，

解得：x＝x1或x＝2﹣x1，

∴x2＝2﹣x1，即y2＝﹣（2﹣x1）2+2＝﹣x12+4x1﹣10，

如圖2所示，作ME⊥BC，NF⊥BC，垂足為E，F，

∵M，N位于直線BC的兩側，且y1＞y2，

∴y2＜﹣1＜y1≤2，且﹣＜x1＜x2，

∴ME＝y1﹣（﹣1）＝﹣x12+3，BE＝x1﹣（﹣）＝x1+，

NF＝﹣1﹣y2＝x12﹣4x1+9，BF＝x2﹣（﹣）＝3﹣x1，

在Rt△BEM中，tan∠MBE＝＝＝﹣x1，

在Rt△BFN中，tan∠NBF＝＝

＝

＝

＝-x1，

∴=.

②過M作ME⊥y軸于E，

∵y軸為BC的垂直平分線，

∴設△MBC的外心為P（0，y0），則PB＝PM，即PB2＝PM2，

∵B的坐標為（﹣，﹣1），

∴PD=y0+1，PD=，ME=x1，PE=y1﹣y0，

根據勾股定理得：3+（y0+1）2＝x12+（y1﹣y0）2，

∵x12＝2﹣y1，

∴y02+2y0+4＝（2﹣y1）+（y0﹣y1）2，即y0＝y1﹣1，

由①得：﹣1＜y1≤2，

∴﹣＜y0≤0，

則△MBC的外心的縱坐標的取值范圍是﹣＜y0≤0．