Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10．直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A,D不重合），一直角邊經過點C，另一直角邊AB交于點E．

（1）求證：

（2）是否存在這樣的點P，使的周長等于周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）存在這樣的點P，使的周長等于周長的2倍；DP的長為8.

【解析】

（1）首先根據余角的等量轉化，得出∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP，然后根據兩角對應相等，兩個三角形相似，即可判定；

（2）首先假設存在這樣的點，然后根據相似的性質得出CD：AP=PD：AE=2，即可得解.

（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，

∴∠CPD=∠AEP，∠APE=∠DCP．

∴（兩角對應相等，兩個三角形相似）

（2）假設存在這樣的點P，

∵Rt△AEP∽Rt△DPC，

∴CD：AP=PD：AE=2．

又∵CD=AB=4，

∴AP=2，PD=8，

∴存在這樣的P點，且DP長為8．