Question

【題目】我們知道：有一內角為直角的三角形叫做直角三角形．類似地，我們定義：有一內角為45°的三角形叫做半直角三角形．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，A(4，0)，B(﹣4，0)，D是y軸上的一個動點，∠ADC=90°(A、D、C按順時針方向排列)，BC與經過A、B、D三點的⊙M交于點E，DE平分∠ADC，連結AE，BD．顯然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形．

(1)求證：△ABC是半直角三角形；

(2)求證：∠DEC=∠DEA；

(3)若點D的坐標為(0，8)，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所對的圓周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根據定義得：△ABC是半直角三角形；
（2）根據垂直平分線的性質得：AD=BD，由等角對等邊得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四點共圓，
則∠DBA+∠DEA=180°，可得結論；
（3）設⊙M的半徑為r，根據勾股定理列方程為：（8-r）2+42=r2，可得⊙M 的半徑為5，由同弧所對的圓心角和圓周角的關系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根據勾股定理可得結論；

（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，

∴∠ADE=45°，

∵∠ABE=∠ADE=45°，

∴△ABC是半直角三角形

（2）∵OM⊥AB，OA=OB，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA，

∵∠DEB=∠DAB，

∴∠DBA=∠DEB，

∵D、B、A、E四點共圓，

∴∠DBA+∠DEA=180°，

∵∠DEB+∠DEC=180°，

∴∠DEA=∠DEC

（3）如圖1，連接AM，ME，

設⊙M的半徑為r，

∵點D的坐標為（0，8），

∴OM=8﹣r，

由OM2+OA2=MA2得：（8﹣r）2+42=r2，

解得r=5，

∴⊙M 的半徑為5

∵∠ABE=45°

∴∠EMA=2∠ABE=90°，

∴EA2=MA2+ME2=52+52=50，

∴.