Question

【題目】如圖，邊長為2的正方形ABCD的頂點A、B在一個半徑為2的圓上， 頂點C、D在圓內，將正方形ABCD沿圓的內壁作無滑動的滾動．當滾動一周回到原位置時，點C運動的路徑長為__ _．

Answer 1

【答案】.

【解析】因為正方形的邊長為2，圓的半徑為2，正方形ABCD沿圓的內壁作無滑動的滾動．當滾動一周回到原位置時，正方形總共轉動了6次，點C運動的路徑是以AC為半徑，旋轉兩次的弧長和以正方形的邊長為半徑旋轉3次的弧長的和（還有一次點C在圓上，為旋轉直中心），

如圖，分別連接OA、OB、OD′、OC、OC′；

∵OA=OB=AB，

∴△OAB是等邊三角形，

∴∠OAB=60°；

同理可證：∠OAD′=60°，

∴∠D′AB=120°；

∵∠D′AB′=90°，

∴∠BAB′=120°-90°=30°，

由旋轉變換的性質可知∠C′AC=∠B′AB=30°；

∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為2，

∴∠ABC=90°，AC= ，

∴當點D第一次落在圓上時，點C運動的路線長為：．

由上面的計算過程可知，每次的旋轉角都為30°，

所以，點C運動的路徑為：.