Question

【題目】如圖，⊙O中直徑AB⊥弦CD于E，點F是的中點，CF交AB于I，連接BD、AC、AD．

（1）求證：BI＝BD；

（2）若OI＝1，OE＝2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）⊙O的半徑是3+

【解析】

（1）利用三角形內心的性質及外角的性質可得∠BID＝∠BDI，從而可證BI＝BD；

（2）設⊙O的半徑為r，根據勾股定理列方程得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，解方程可得結論．

（1）證明：如圖，連接DI，

∵AB為⊙O的直徑，且AB⊥CD，

∴，

∴∠CAB＝∠BAD，∠BAD＝∠BDC，

∵點F是的中點，

∴∠ACF＝∠DCF，

∴I是△ADC的內心，

∴∠ADI＝∠CDI，

∵∠BID＝∠BAD+∠ADI，∠BDI＝∠BDC+∠CDI，

∴∠BID＝∠BDI，

∴BI＝BD；

（2）連接OD，

設⊙O的半徑為r，

∵OI＝1，OE＝2，

∴BE＝r﹣2，BD＝BI＝r+1，

由勾股定理得：DE2＝r2﹣22＝（r+1）2﹣（r﹣2）2，

r2﹣6r﹣1＝0，

r1＝3+，r2＝3-（舍），

答：⊙O的半徑是3+．