Question

【題目】如圖，點A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于點B，tanD=3，BC=2，H為CE延長線上一點，且AH= ，CH=5 ．

（1）求證：AH是⊙O的切線；
（2）若點D是弧CE的中點，且AD交CE于點F，求證：HF=HA；
（3）在（2）的條件下，求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1所示：連接AC．

∵AB⊥CB，

∴AC是圓O的直徑．

∵∠C=∠D，

∴tanC=3．

∴AB=3BC=3×2=6．

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40．

又∵AH2=10，CH2=50，

∴AC2+AH2=CH2．

∴△ACH為直角三角形．

∴AC⊥AH．

∴AH是圓O的切線．

（2）解：如圖2所示：連接DE、BE．

∵AH是圓O的切線，

∴∠ABD=∠HAD．

∵D是 的中點，

∴ ．

∴∠CED=∠EBD．

又∵∠ABE=∠ADE，

∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED．

∴∠ABD=∠AFE．

∴∠HAF=∠AFH．

∴AH=HF．

（3）解：由切割線定理可知：AH2=EHCH，即（ ）2=5 EH．

解得：EH= ．

∵由（2）可知AF=FH= ．

∴EF=FH﹣EH= ．

【解析】（1）連接AC．由AB⊥BC可知AC是圓O的直徑，由同弧所對的圓周角相等可知∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=40，從而可得到AC2+AH2=CH2 ， 由勾股定理的逆定理可知AC⊥AH，故此可知AH是圓O的切線；（2）連接DE、BE．由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是 的中點，可證明∠CED=∠EBD，由同弧所對的圓周角相等可知∠ABE=∠ADE，結合三角形的外角的性質可證明：∠HAF=∠AFH，故此AH=HF；（3）由切割線定理可求得EH= ，由（2）可知AF=FH= ，從而得到EF=FH﹣EH= ．