Question

【題目】矩形AOCD繞頂點A(0，5)逆時針方向旋轉，當旋轉到如圖所示的位置時，邊BE交邊CD于M，且ME=2，CM=4.

（1）求AD的長；

（2）求經過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（3）在直線AM下方，（2）中的拋物線上是否存在點P，使S△PAM =？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AD=7；（2）；（3）P點坐標為（3，1）、（，）

【解析】試題分析: （1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，根據旋轉的性質得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可證明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，設BQ=PD=x，AP=y，則AD=x+y，所以BM=x+y-2，利用比例性質得到PBMQ=xy，而PB-MQ=DQ-MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52-y2-2xy+（x+y-2）2-x2=1，解得x+y=7，則BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；

（2）由AB=BM可判斷Rt△ABP≌Rt△MBQ，則BQ=PD=7-AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7-MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，則BQ=4，根據三角形面積公式和梯形面積公式，利用S陰影部分=S梯形ABQD-S△BQM進行計算即可；然后利用待定系數法求直線AM的解析式.先確定B（3，1），然后利用待定系數法求拋物線的解析式；

（3）當點P在線段AM的下方的拋物線上時，作PK∥y軸交AM于K，如圖2設P（x，x2-x+5），則K（x，-x+5），則KP=-x2+x，根據三角形面積公式得到（-x2+x）7=，解得x1=3，x2=，于是得到此時P點坐標為（3，1）、（，）；再求出過點（3，1）與（，）的直線l的解析式為y=-x+，則可得到直線l與y軸的交點A′的坐標為（0，），所以AA′=，然后把直線AM向上平移個單位得到l′，直線l′與拋物線的交點即為P點，由于A″（0，），則直線l′的解析式為y=-x+，再通過解方程組得P點坐標．

試題解析:

解：⑴ 如圖1，連接AM，

在矩形AOCD中，∠AOC=∠ADC=90°，AD=OC，CD=AO=5，

∵CM=4，

∴DM=1，

由旋轉，得∠B=∠AOC =90°，BE=OC，AB=AO=5，

設BE=OC= AD=x，

在Rt△ADM中，AM2=x2+1，

在Rt△ABM中，AM2=(x-2) 2+25,

∴x2+1=(x-2) 2+25，解得x=7，

∴AD=7.

⑵ 如圖2，過點B作x軸的平行線，交AO于G，交DC于H，

則 ∠AGB=∠BHM =90°，

∴ ∠ABG＋∠BAG =90°，

∵ ∠ABE=90°，

∴ ∠ABG＋∠MBH =90°，

∴ ∠BAG =∠MBH ，

∵ AB=BM=5，

∴ △AGB≌△BHM（AAS），

∴ BH=AG，MH=BG，

設MH=BG=n，則DH=n＋1，∴BH=AG=n＋1，

∵ GH=OC=AD=7，

∴ n＋（n＋1）=7，

∴ n=3，

∴ AG=4，BG=3，

∵ A（0，5），

∴ 點B的坐標為（3，1），

設經過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax+bx+5，將B（3，1），

D（7，5）代入，得

解得

∴y=x2-x+5.

圖2

⑶ 存在．

設直線AM的解析式為y=kx+5，將M（7，4）代入，得k=，

∴y=-x+5,

∵點P在線段AD的下方的拋物線上，作PK∥y軸交AM于K，

設P（x，），則K（x，），

∴KP=﹣=，

∵S△PAM=，

∴7=，

整理得7x2﹣46x+75=0，

解得x1=3，x2=，

此時P點坐標為（3，1）、（，）.

點睛: 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉的性質、矩形的性質和三角形全等于相似的判定與性質；會利用待定系數法求函數解析式；理解坐標與圖形性質；會進行代數式的變形．