Question

（2008•攀枝花）已知二次函數的頂點C的橫坐標為1，一次函數y=kx+2的圖象與二次函數的圖象交于A、B兩點，且A點在y軸上，以C為圓心，CA為半徑的⊙C與x軸相切，
（1）求二次函數的解析式；
（2）若B點的橫坐標為3，過拋物線頂點且平行于x軸的直線為l，判斷以AB為直徑的圓與直線l的位置關系；
（3）在滿足（2）的條件下，把二次函數的圖象向右平移7個單位，向下平移t個單位（t＞2）的圖象與x軸交于E、F兩點，當t為何值時，過B、E、F三點的圓的面積最小？

Answer 1

分析：（1）由于點A在y軸上，根據一次函數的解析式（主要注意常數項）即可得到點A的坐標，所以要求出二次函數的解析式，還必須知道頂點C的具體坐標；已知以C為半徑的圓與⊙C相切，那么點C必在x軸的上方，且點C到x軸的距離（即C點的縱坐標值）與CA的長相同，可據此確定出點C的坐標；然后先將二次函數的解析式設為頂點式，再代入點A的坐標后可得解．
（2）已知點B的橫坐標，代入（1）的二次函數解析式中可得到點B的坐標，以AB為直徑的圓的圓心必為線段AB的中點，A點坐標已知，則圓心坐標可求，判定圓心到直線l的距離是否與AB長的一半相等即可．
（3）首先根據“左加右減，上加下減”的平移規律得出平移后的函數解析式，令函數值為0后可得到點E、F的坐標（用含t的式子表達）；題目要求的是過B、E、F三點的圓的面積最小，那么這個圓的半徑應該最小，可根據這個思路來解題；設這個圓的圓心為P，那么PB=PE=PF=r_P，所以點P必在線段EF的中垂線上，如果半徑r_P最短，那么PB的長最短，通過圖示我們可以看出，當BP垂直于EF的中垂線時（即BP為點B到EF中垂線的垂線段），BP的長最短，可據此確定圓心P的坐標，然后由PE=BP列方程求得t的值．

解答：解：（1）∵一次函數y=kx+2的圖象與二次函數的圖象交于y軸的A點，
∴A（0，2）；
∵以CA為半徑的⊙C與x軸相切，
∴點C在x軸上方，可設C（1，y），則有：
y²=（1-0）²+（y-2）²，解得 y=

5

4

即：頂點C（1，

5

4

）；
設二次函數的解析式為：y=a（x-1）²+

5

4

，代入A（0，2），有：
a（0-1）²+

5

4

=2，解得 a=

3

4

∴二次函數的解析式：y=

3

4

（x-1）²+

5

4

=

3

4

x²-

3

2

x+2．

（2）當x=3時，y=

3

4

（x-1）²+

5

4

=

3

4

×4+

5

4

=

17

4

，即 B（3，

17

4

）；
由（1）知，A（0，2），所以 AB的中點（

3

2

，

25

8

），AB=

(3-0)2+( 17 4 -2)2

=

15

4

；
過點C且平行于x軸的直線l：y=

5

4

，所以以AB為直徑的圓心到直線l的距離為：

25

8

-

5

4

=

15

8

=

1

2

AB；
因此以AB為直徑的圓與直線l相切．

（3）二次函數平移后的解析式為y=

3

4

（x-8）²+

5

4

-t，
令y=0，即

3

4

（x-8）²+

5

4

-t=0，解得：x=8±

3

3

4t-5

；
假設E（8-

3

3

4t-5

，0）、F（8+

3

3

4t-5

，0），EF的中垂線為x=8；
過B、E、F三點的圓心在x=8上，若過B、E、F三點的圓的面積最小，只需點B到直線x=8的距離最小，即最小值為5；
過B作直線x=8的垂線，垂足P即為圓心，半徑r=5；
則PE=5，EF=

2 3

3

4t-5

，ES=

1

2

EF=

3

3

4t-5

；
由PS²+ES²=PE²，得：（

17

4

）²+

1

3

（4t-5）=5²，
解得：t=

413

64

；
即：當t=

413

64

時，過B、E、F三點的圓的面積最小．

點評：此題是圓與函數的綜合題，主要涉及了函數解析式的確定、函數圖象的平移、直線與圓的位置關系、三角形的外接圓等重要知識點；題目的難點在于最后一題，將三角形外接圓的面積最小問題轉化為半徑長的問題是突破此題的關鍵所在．