Question

（2008•攀枝花）某校服生產廠家計劃在年底推出80套兩款新校服A和B，預計前期投入資金不少于20900元，但不超過20960元，且所投入資金全部用于兩種校服的研制，其成本和售價如下表：

	A	B
成本價（元/套）	250	280
售價（元/套）	300	340

（1）該廠家有哪幾種生產新校服的方案可供選擇？
（2）該廠家采用哪種生產方案可以獲得最大的利潤？最大利潤為多少？
（3）經市場調查，年底前每套B款校服售價不會改變，而每套A款校服的售價將會提高m元（m＞0），且所生產的兩種校服都可以售完，該廠家又該如何安排生產校服才能獲得最大利潤呢？

Answer 1

分析：（1）設生產A校服x套，則生產B校服（80-x）套，根據題意得出不等式組

250x+280(80-x)≥20900 250x+280(80-x)≤20960

，求出不等式組的整數解，即可得出答案；
（2）根據-10＜0得出y隨x的增大而減小，推出當x取最小值時，y最大，把x=48代入求出y即可；
（3）設總利潤為y′，根據題意得出總利潤y=（50+m）x+60（80-x）=（m-10）x+4800，分為三種情況：當0＜m＜10時，安排生產A校服48套，可獲得最大利潤，當m=10時，怎么安排生產利潤總是定值4800元，當m＞10時，安排生產A校服50套，可獲得最大利潤．

解答：解：（1）設生產A校服x套，則生產B校服（80-x）套，根據題意得：

250x+280(80-x)≥20900 250x+280(80-x)≤20960

，
解得：48≤x≤50，
∵x為整數，
∴x只能取48、49、50，
∴廠家共有三種方案可供選擇，分別是：
方案一、購買A校服48套，購買B校服32套；
方案二、購買A校服49套，購買B校服31套；
方案三、購買A校服50套，購買B校服30套；

（2）設總利潤為y，則y=50x+60（80-x）=4800-10x，
∵-10＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當x取最小值時，y最大，
∴當x取48時，y取得最大值為4800-10×48=4320（元），
答：該廠家采用生產方案一可以獲得最大的利潤，最大利潤為4320元；

（3）∵總利潤y=（50+m）x+60（80-x）=（m-10）x+4800，
∴分為三種情況：①當0＜m＜10時，安排生產A校服48套，可獲得最大利潤，
②當m=10時，怎么安排生產利潤總是定值4800元，
③當m＞10時，安排生產A校服50套，可獲得最大利潤．

點評：本題考查了一次函數的應用，關鍵是能根據題意得出函數式，主要考查學生分析問題和解決問題的能力，用的數學思想是轉化思想．