Question

已知方程（k-1）x²+2kx+k+3=0①．
（1）k取何值時，方程①有一個實數根；
（2）k取何值時，方程①有兩個不相等的實數根；
（3）當方程①有兩個相等的實數根時，求y²+（a-4k）y+a=0的整數根．（其中a為正整數）

Answer 1

分析：（1）方程是一元一次方程時，方程有一個實數根；
（2）方程有兩個不相等的實數根，其根的判別式大于零；
（3）根據方程有兩個相等的實數根求得k的值，代入新的方程中求a的值即可．

解答：解：（1）∵方程①有一個實數根，
∴k-1=0，
∴k=1，
∴k取1時，方程①有一個實數根；
（2）∵方程①有兩個不相等的實數根；
∴b²-4ac=4k²-4（k-1）（k+3）＞0
解得：k＜

3

2

，
∵k-1≠0，
∴k≠1，
∴當k＜

3

2

且k≠1時，方程①有兩個不相等的實數根；
（3）∵方程①有兩個相等的實數根，
∴b²-4ac=4k²-4（k-1）（k+3）=0，
解得：k=

3

2

，
∴原方程為：y²+（a-6）y+a=0
解得y=

6-a

2

∴整數根為3，2，1．

點評：本題考查了根的判別式，是一道綜合性的題目，需要同學們在理解的基礎上正確的應用．