Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=x2+bx+c過A，B，C三點，點A的坐標是（3，0），點C的坐標是（0，-3），動點P在拋物線上．

（1）b =_________，c =_________，點B的坐標為_____________；（直接填寫結果）

（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由；

（3）過動點P作PE垂直y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線．垂足為F，連接EF，當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）， ， （2）存在P的坐標是或（3）當EF最短時，點P的坐標是：（， ）或（， ）

【解析】試題分析：（1）根據題意得出答案；（2）分以點C為直角頂點和點A為直角頂點兩種情況分別進行計算；兩種情況都根據等腰直角三角形的性質得出點的坐標；（3）根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短，根據OC=OA=3，OD⊥AC得出 D是AC的中點，從而得出點P的縱坐標，然后根據題意得出方程，從而求出點P的坐標.

試題解析：（1），， （-1,0）．

（2）存在．

第一種情況，當以C為直角頂點時，過點C作CP1⊥AC，交拋物線于點P1．過點P1作y軸的垂線，垂足是M．

∵OA=OC，∠AOC =90° ∴∠OCA=∠OAC=45°． ∵∠ACP1=90°， ∴∠MCP1=90°-45°=45°=∠C P1M．

∴MC=MP1． 由（1）可得拋物線為．

設，則， 解得：（舍去），．

∴． 則P1的坐標是．

第二種情況，當以A為直角頂點時，過點A作AP2⊥AC，交拋物線于點P2，過點P2作y軸的垂線，垂足是N，AP2交y軸于點F． ∴P2N∥x軸．由∠CAO=45°， ∴∠OAP2=45°． ∴∠FP2N=45°，AO=OF=3．

∴P2N=NF． 設，則． 解得：（舍去），．

∴， 則P2的坐標是．

綜上所述，P的坐標是或

（3）連接OD，由題意可知，四邊形OFDE是矩形，則OD=EF．

根據垂線段最短，可得當OD⊥AC時，OD最短，即EF最短． 由（1）可知，在Rt△AOC中，

∵OC=OA=3，OD⊥AC， ∴ D是AC的中點． 又∵DF∥OC， ∴．

∴點P的縱坐標是則， 解得：．

∴當EF最短時，點P的坐標是：（，）或（，）．