Question

【題目】如圖，點B在線段AC上，點E在線段BD上，∠ABD＝∠DBC＝90°，AB＝DB，EB＝CB，M，N分別是AE，CD的中點．

（1）求證：△ABM≌△DBN；

（2）試探索BM和BN的關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△MBN是等腰直角三角形，理由見解析

【解析】

（1）根據SAS即可證明結論；（2）通過證明△ABM≌△DBN可證明BM=BN，∠ABM=∠DBN．根據∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°可得∠DBN+∠DBM=∠MBN=90°，即可得答案.

（1）解：在△ABE和△DBC中 ，

∴△ABE≌△DBC

（2）解：△MBN是等腰直角三角形，證明如下：

∵△ABE≌△DBC，

∴AE=CD，∠BAM=∠BDN．

∵M，N分別是AE，CD的中點，

∴AM=AE，CN=CD．

∴AM=CN．

在△ABM和△DBN中 ，

∴ABM≌△DBN．

∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．

∵∠ABD=∠DBC，∠ABD+∠DBC=180°，

∴∠ABD=∠ABM+∠DBM=90°．

∴∠DBN+∠DBM=∠MBN=90°．

∴△MBN是等腰直角三角形．