Question

【題目】如圖，直線AB：y=﹣x+交坐標軸于A、B兩點，直線AC與AB關于y軸對稱，交x軸于點C．點P、Q分別是線段BC、AC上兩個動點，且∠APQ始終等于30°．

（1）點B的坐標是（ ， ）；∠ABC= 度；

（2）若⊙O與AB相切，則⊙O的半徑等于 ；

（3）當P點坐標為（﹣2，0）時，求CQ的長；

（4）當△APQ為等腰三角形時，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）（8，0）；30；（2）4；（3）CQ的長為；（4）當△APQ為等腰三角形時，P點的坐標為（8，0）或（﹣，0）或（﹣8，0）．

【解析】

試題分析：（1）由B點是直線AB與x軸的交點，故令y=0，解出x的值即為B點的坐標，A點是直線AB與y軸的交點，令x=0，可得出A點坐標，由三角函數的正弦值可得出∠ABC的值；（2）圓與直線相切，圓的半徑就等于圓心到直線的距離，結合點到直線的距離公式即可得出結論；（3）由兩個等于30°的角和一個公共角可得出△CAP∽△PAQ，根據相似三角形的性質可找出AQ的值，再由CQ=AC﹣AQ，即可得出結論；（4）若三角形為等腰三角形，只需兩條邊相等即可，在此分哪兩條邊相等來討論，即可得出結論．

解：（1）令y=0，則有0=﹣x+，

解得：x=8．

即點B的坐標是（8，0）．

令x=0，則有y=，

即點A的坐標為（0，）．

∴AO=，BO=8，

∴tan∠ABO==，

∴∠ABO=30°．

故答案為：（8，0）；30．

（2）∵⊙O與AB相切，

∴⊙O的半徑為點O到直線AB的距離．

直線AB：y=﹣x+可變形為x+y﹣=0．

點O到直線AB的距離==4．

∴⊙O的半徑為4．

故答案為：4．

（3）∵直線AC與AB關于y軸對稱，

∴點C坐標為（﹣8，0），∠ACB=∠ABC=30°．

又∵點A的坐標為（0，），點P的坐標為（﹣2，0），

∴AO=，CO=8，AC==，PO=2，CP=CO﹣PO=6，AP==．

∵∠CAP=∠PAQ，∠ACP=∠APQ=30°，

∴△CAP∽△PAQ，

∴=，AQ==．

CQ=AC﹣AQ=．

故當P點坐標為（﹣2，0）時，CQ的長為．

（4）△APQ為等腰三角形分三種情況：

①當AQ=PQ時，如圖1，

∵∠APQ=30°，AQ=PQ，

∴∠PAQ=30°，

∵∠ACO=30°，∠CAO=90°﹣∠ACO=60°，

∴∠PAO=∠CAO﹣∠PAQ=30°．

∵AO⊥BC，

∴PO=AOtan∠PAO=，

∴點P的坐標為（﹣，0）．

②當AP=AQ時，如圖2，

此時P點與B點重合，Q點與C點重合，

∴點P的坐標為（8，0）．

③當AP=PQ時，如圖3，

∵∠APQ=30°，∠PAQ=∠PQA==75°，

∴∠CPA=180°﹣∠ACP﹣CAP=180°﹣30°﹣75°=75°，

∴∠CAP=∠CPA=75°，

∴CP=CA=，

OP=CP﹣CO=﹣8．

∴點P的坐標為（﹣8，0）．

綜上可知：當△APQ為等腰三角形時，P點的坐標為（8，0）或（﹣，0）或（﹣8，0）．