Question

【題目】如圖，拋物線y=mx2-16mx+48m(m＞0)與x軸交于A、B兩點(點B在點A左側(cè))，與y軸交于點C，點D是拋物線上的一個動點，且位于第四象限，連接OD、BD、AC、AD，延長AD交y軸于點E.

(1)若△OAC為等腰直角三角形，求m的值.

(2)若對任意m＞0，C、E兩點總關(guān)于原點對稱，求點D的坐標(biāo)(用含m的式子表示).

(3)當(dāng)點D運動到某一位置時，恰好使得∠ODB=∠OAD，且點D為線段AE的中點，此時對于該拋物線上任意一點P(x0，y0)總有n≥－4my02－12y0-50成立，求實數(shù)n的最小值.

Answer 1

【答案】(1)m=；(2)點D的坐標(biāo)為(8，-16m)；(3)實數(shù)n的最小值為

【解析】

（1）根據(jù)y=mx2-16mx+48m=m(x-4)(x-12)，可得A（12，0），C（0，48m），再根據(jù)OA＝OC，即可得到12＝48m，進而得出m的值；
（2）根據(jù)C、E兩點總關(guān)于原點對稱，得到E（0，48m），根據(jù)E（0，48m），A（12，0）可得直線AE的解析式，最后解方程組即可得到直線AE與拋物線的交點D的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)△ODB∽△OAD，可得OD＝4，進而得到D（6，2），代入拋物線y＝mx216mx＋48m，求出m可得拋物線解析式，再根據(jù)點P（x0，y0）為拋物線上任意一點，即可得出y0≥，令t＝-4my02-12y0-50，求出t最大值＝2（）2＋4＝，即可得實數(shù)n的最小值為．

解：(1)令y=mx2-16mx+48m=m(x-4)(x-12)=0，

則x1=12，x2=4，

∴A(12，0)，即OA=12，

又∵C(0，48m)，

∴當(dāng)△OAC為等腰直角三角形時，OA=OC，即12=48m，

∴m=；.

(2)由(1)可知點C(0，48m)，

∵對任意m＞0，C、E兩點總關(guān)于原點對稱，

∴必有E(0，-48m)，

設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b（k≠0），

將E(0，-48m)，A(12，0)代入，可得 ，解得，

∴直線AE的解析式為y=4mx-48m，

∵點D為直線AE與拋物線的交點，

∴解方程組，得或(舍去)，

∴點D的坐標(biāo)為(8，-16m)；

(3)當(dāng)∠ODB=∠OAD，∠DOB=∠AOD時，△ODB∽△OAD，

∴，

∴OD2=OA×OB=12×4=48，

∴OD=4，

又∵點D為線段AE的中點，

∴AE=2OD=8，

又∵OA=12，

∴OE= =4，

∴D(6，-2)，

把D(6，-2)代入拋物線y=mx2-16mx+48m，可得-2=36m-96m+48m，

解得：m=，

∴拋物線的解析式為y=(x-4)(x-12)，即y=(x-8)2-，

∵點P(x0，y0)為拋物線上任意一點，

∴y0≥-，

令t=-4my02-12y0-50=-2y02-12y0-50=-2(y0+3)2+4，

則當(dāng)y0≥-時，t最大值=-2(-+3)2+4=，

若要使n≥-4my02-12y0-50成立，則n≥，

∴n≥，

∴實數(shù)n的最小值為.