Question

（12分）如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若AB=4，B為OE的中點，CF⊥AB，垂足為點F，求CF的長；

（3）如圖2，連接OD交AC于點G，若=，求sin∠E的值．

Answer 1

（1）證明見解析 （2） （3）

【解析】

試題分析：（1）要證明AC平分∠DAB證∠1=∠2即可，連結OC，∠1=∠3，因此只需證明OC∥AD即可；（2）在Rt△OCE中，根據條件可證∠COE=60°，然后在Rt△OCF中，利用特殊角的三角函數可求得CF=OF=；（3）連結OC，根據條件可證△OCG∽△DAG，△ECO∽△EDA，然后利用對應邊成比例可得==，從而可得出OE=3OC，然后根據三角函數的概念計算即可.

試題解析：【解析】
（1）證明：連結OC，如圖1，

∵DE與⊙O切于點C，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴OC∥AD，

∴∠2=∠3，

∵OA=OC，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2，

即AC平分∠DAB；

（2）【解析】
如圖1，

∵直徑AB=4，B為OE的中點，

∴OB=BE=2，OC=2，

在Rt△OCE中，OE=2OC，

∴∠OEC=30°，

∴∠COE=60°，

∵CF⊥AB，

∴∠OFC=90°，

∴∠OCF=30°，

∴OF=OC=1，

CF=OF=；

（3）【解析】
連結OC，如圖2，

∵OC∥AD，

∴△OCG∽△DAG，

∴==，

∵OC∥AD，

∴△ECO∽△EDA，

∴==，

設⊙O的半徑為R，OE=x，

∴=，

解得OE=3R，

在Rt△OCE中，sin∠E===．

考點：1.圓的切線的性質；2.解直角三角形；3.相似三角形的判定與性質；4.銳角三角函數.

考點分析： 考點1：圓 圓，圓的有關性質與圓的有關計算是近幾年各地中考命題的重點內容。題型以填空題，選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解，條件開放，結論開放探索題作為新的題型，分值一般是6-12分，難易度為中，考察內容：①圓的有關性質的應用。垂徑定理是重點。② 直線和圓，圓和圓的位置關系的判定及應用。③弧長，扇形面積，圓柱，圓錐的側面積和全面積的計算④圓與相似三角形，三角函數的綜合運用以及有關的開放題，探索題。突破方法：①熟練掌握圓的有關行政，掌握求線段，角的方法，理解概念之間的相互聯系和知識之間的相互轉化。②理解直線和原的三種位置關系，掌握切線的性質和判定的歌，會根據條件解決圓中的動態問題。③掌握有兩圓半徑的和或差與圓心距的大小關系來盤底的那個兩個圓的位置關系，對中考試題中常出現的閱讀理解題，探索題，要靈活運用圓的有關性質，進行合理推理與計算。④掌握弧長，扇形面積計算公式。⑤理解圓柱，圓錐的側面展開圖⑥對組合圖形 的計算要靈活運用計算方法解題。 考點2：解直角三角形 （1）解直角三角形的定義
     在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的關系
     ①銳角直角的關系：∠A+∠B=90°；
     ②三邊之間的關系：a²+b²=c²；
     ③邊角之間的關系：
sinA=∠A的對邊斜邊=ac，cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc，tanA=∠A的對邊∠A的鄰邊=ab．
（a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊） 試題屬性

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