Question

【題目】正方形中，將一個直角三角板的直角頂點與點重合，一條直角邊與邊交于點（點不與點和點重合），另一條直角邊與邊的延長線交于點．

如圖①，求證：；

如圖②，此直角三角板有一個角是，它的斜邊與邊交于，且點是斜邊的中點，連接，求證：；

在的條件下，如果，那么點是否一定是邊的中點？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）點不一定是邊的中點．

【解析】

（1）由正方形的性質可以得出∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD，由直角三角形的性質∠EAF=∠BAD=90°，就可以得出∠BAE=∠DAF，證明△ABE≌△ADF就可以得出結論；

（2）如圖2，連結AG，由且點G是斜邊MN的中點，△AMN是等腰直角三角形，就可以得出∠EAG=∠NAG=45°，由△ABE≌△ADF可以得出∠BAE=∠DAF，AE=AF就可以得出△AGE≌AGF，從而得出結論；

（3）設AB=6k，GF=5k，BE=x，就可以得出CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，就有CG=CF﹣GF=k+x，由勾股定理就可以求出x的值而得出結論．

（1）如圖①．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠C=90°，AB=AD．

∵∠EAF=90°，∴∠EAF=∠BAD，∴∠EAF﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD，∴∠BAE=∠DAF．

在△ABE和△ADF中，∵，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE=AF；

（2）如圖②，連接AG．

∵∠MAN=90°，∠M=45°，∴∠N=∠M=45°，∴AM=AN．

∵點G是斜邊MN的中點，∴∠EAG=∠NAG=45°．

在△AGE和AGF中，∵，∴△AGE≌AGF（SAS），∴EG=GF．

∵△ABE≌△ADF，∴BE=DF．

∵GF=GD+DF，∴GF= BE+DG，∴EG=BE+DG；

（3）G不一定是邊CD的中點．理由如下：

設AB=6k，GF=5k，BE=x，∴CE=6k﹣x，EG=5k，CF=CD+DF=6k+x，∴CG=CF﹣GF=k+x．在Rt△ECG中，由勾股定理，得：（6k﹣x）2+（k+x）2=（5k）2，解得：x1=2k，x2=3k，∴CG=4k或3k，∴點G不一定是邊CD的中點．