Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點、、．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若與拋物線的對稱軸交于點，以為圓心，長為半徑作圓，與軸的位置關系如何？請說明理由．

（3）過點作的切線，交軸于點，請求出直線的解析式及點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+4；（2）⊙A與y軸的位置關系是相交，理由見解析；（3）直線GE的表達式為：y＝﹣x+，G（，0）．

【解析】

（1）根據待定系數法，即可求解；

（2）根據待定系數法，求出直線AC的表達式為：y＝x+4，進而求出點E的坐標，可得AE的長，比較AE與AO的大小關系，即可得到結論；

（3）由直線AC的表達式為：y＝x+4，結合AC⊥EG，可得直線EG的表達式為：y＝﹣x+m，結合點E的坐標，可得直線GE的表達式，進而即可求解．

（1）∵拋物線經過點、，

∴設二次函數的表達式為：y＝a（x+3）（x﹣2）＝a（x2+x﹣6），

把C(0，4)代入得：﹣6a＝4，解得：a＝﹣，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣x+4；

（2）⊙A與y軸的位置關系是相交，理由如下：

設直線AC的解析式為y＝kx+b，

將點A、C的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得：，解得：，

∴直線AC的表達式為：y＝x+4，

∵拋物線的對稱軸為：直線x＝﹣，

∴當x＝﹣時，y＝

∴點E(﹣，)，

∴AE＝＝＞AO，

∴⊙A與y軸的位置關系是相交；

（3）直線AC的表達式為：y＝x+4，

∵是的切線，切點是點E，

∴AC⊥EG，

∴設直線EG的表達式為：y＝﹣x+m，

將點E的坐標代入上式，得＝﹣×(﹣)+m，解得：m＝，

∴直線GE的表達式為：y＝﹣x+，

∵當y＝0時，x＝，

∴點G(，0)．