Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，O是對角線AC與BD的交點，M是BC邊上的動點(點M不與點B，C重合)，過點C作CN⊥DM交AB于點N，連結OM、ON，MN．下列五個結論：①△CNB≌△DMC；②ON＝OM；③ON⊥OM；④若AB＝2，則S△OMN的最小值是1；⑤AN2+CM2＝MN2．其中正確結論是_____；(只填序號)

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】

①由正方形的性質得出CD=BC，∠BCD=90°，證出∠BCN=∠CDM，由ASA即可得出結論；

②由全等三角形的性質得出CM=BN，由正方形的性質得出∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，由SAS證得△OCM≌△OBN（SAS）即可得出結論；

③由△OCM≌△OBN，得出∠COM=∠BON，則∠BOM+∠COM=∠BOM+∠BON，即可得出結論；

④由AB=2，得出S正方形ABCD=4，由△OCM≌△OBN得出四邊形BMON的面積=△BOC的面積=1，即四邊形BMON的面積是定值1，推出△MNB的面積有最大值即可得出結論；

⑤由CM=BN，BM=AN，由勾股定理即可得出結論．

①∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，

∴∠BCN+∠DCN＝90°，

∵CN⊥DM，

∴∠CDM+∠DCN＝90°，

∴∠BCN＝∠CDM，

在△CNB和△DMC中

，

∴△CNB≌△DMC(ASA)，

故①正確；

②∵△CNB≌△DMC，

∴CM＝BN，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，

在△OCM和△OBN中，

，

∴△OCM≌△OBN(SAS)，

∴OM＝ON，

故②正確；

③∵△OCM≌△OBN，

∴∠COM＝∠BON，

∴∠BOM+∠COM＝∠BOM+∠BON，即∠NOM＝∠BOC＝90°，

∴ON⊥OM；

故③正確；

④∵AB＝2，

∴S正方形ABCD＝4，

∵△OCM≌△OBN，

∴四邊形BMON的面積＝△BOC的面積＝1，即四邊形BMON的面積是定值1，

∴當△MNB的面積最大時，△MNO的面積最小，

設BN＝x＝CM，則BM＝2﹣x，

∴△MNB的面積S＝x(2﹣x)＝﹣x2+x＝﹣(x﹣1)2+，

∴當x＝1時，△MNB的面積有最大值，

此時S△OMN的最小值是1﹣＝，

故④不正確；

⑤∵AB＝BC，CM＝BN，

∴BM＝AN，

在Rt△BMN中，BM2+BN2＝MN2，

∴AN2+CM2＝MN2，

故⑤正確；

∴本題正確的結論有：①②③⑤，

故答案為①②③⑤．