Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一點，以OA為半徑的⊙O與BC相切于點D，與AB交于點E，連接ED并延長交AC的延長線于點F．

（1）求證：AE=AF；

（2）若DE=3，sin∠BDE=，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8．

【解析】

（1）根據切線的性質和平行線的性質解答即可；

（2）根據直角三角形的性質和三角函數解答即可．

（1）連接OD，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED．

∵直線BC為⊙O的切線，

∴OD⊥BC．

∴∠ODB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴OD∥AC．

∴∠ODE=∠F．

∴∠OED=∠F．

∴AE=AF；

（2）連接AD，

∵AE是⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∵AE=AF，

∴DF=DE=3，

∵∠ACB=90°，

∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，

∴∠DAF=∠CDF=∠BDE，

在Rt△ADF中，=sin∠DAF=sin∠BDE=，

∴AF=3DF=9，

在Rt△CDF中，=sin∠CDF=sin∠BDE=，

∴CF=DF=1，

∴AC=AF﹣CF=8．