Question

【題目】如圖，拋物線經過、兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線向下平移個單位，使平移后得到的拋物線頂點落在的內部（不包括的邊界），求的取值范圍．

（3）若是拋物線上一動點，是否存在點，使的面積是？若存在，直接寫出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，和

【解析】

（1）把點A（0，6）、B（4，2）代入y＝x2＋bx＋c，利用待定系數法即可得出拋物線的解析式；

（2）先利用配方法求出二次函數的頂點坐標，利用待定系數法分別求出直線AB與直線OB的解析式，將頂點橫坐標的值分別代入兩直線的解析式，求出對應的y的值，進而得出m的取值范圍；

（3）設拋物線上存在點P（x，x2＋3x＋6），使△PAB的面積是10．過P作x軸的垂線，交直線AB于Q，則Q（x，x＋6）．分兩種情況進行討論：①點P在AB上方；②點P在AB下方．根據△PAB的面積是10列方程求解．

解：（1）拋物線過，，則有：

解之得：　　

∴所求的解析式是：

（2）∵

∴ 頂點的坐標為．

設直線的解析式是，因為直線經過、兩點，

所以有， 解之得：

∴直線的解析式為．

設直線的解析式是，因為直線經過、兩點，

所以有 ，解之得：

∴直線的解析式為．

把代入得

把代入得

∵，

∴．

（3）設拋物線上存在點P（x，x2＋3x＋6），使△PAB的面積是10．

過P作x軸的垂線，交直線AB于Q，

∵直線的解析式為，則Q（x，x＋6）．

分兩種情況：①點P在AB上方時，

PQ＝x2＋3x＋6（x＋6）＝x2＋4x，

∵△PAB的面積＝△PAQ的面積＋△PQB的面積

＝PQ4＝2PQ＝10，

∴PQ＝5，

∴x2＋4x＝5，

解得x無實數根；

②點P在AB下方時，

PQ＝（x＋6）（x2＋3x＋6）＝x24x，

∵△PAB的面積＝|△PAQ的面積△PQB的面積|

＝PQ4＝2PQ＝10，

∴PQ＝5，

∴x24x＝5，

解得x1＝1，x2＝5，

故所求P點坐標為（1，2）或（5，4）．

綜上，存在和使的面積是．