Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B的平分線交AC于E，DE⊥BE．

（1）試說明AC是△BED外接圓的切線；

（2）若CE=1，BC=2，求△ABC內切圓的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）根據圓周角定理即可證得BD是外接圓的直徑，則作出BD的中點就是圓的圓心，連接OE，證明OE⊥AC即可證得AC是切線；
（2）求出AB、AC，根據Rt△ABC的內切圓的半徑r= ，計算即可；

（1）證明：作BD的中點O，連接OE．

∵DE⊥BE，
∴BD是圓的直徑．
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠BEO，
又∵∠CBE=∠EBO，
在直角△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠CEB+∠BEO=90°，即∠CEO=90°．
∴OE⊥AC，
∴AC是△BED外接圓的切線；
（2）解：在Rt△BCE中，BE= ，
∵∠CBE=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△CBE∽△EBD，
∴，
∴，
∴DE= ，BD= ，
∵OE∥BC，
∴，
∴，
∴AE= ，
∴，
∴OA= ，
∴AB= ，AC= ，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC的內切圓的半徑r==
∴圓的面積是：π．