Question

如圖22，將—矩形OABC放在直角坐際系中，O為坐標原點．點A在x軸正半軸上．點E是邊AB上的—個動點(不與點A、N重合)，過點E的反比例函數的圖象與邊BC交于點F。
小題1:若△OAE、△OCF的而積分別為S₁、S₂．且S₁＋S₂=2，求的值：
小題2:若OA=2．0C=4．問當點E運動到什么位置時，四邊形OAEF的面積最大．其最大值為多少?

Answer 1

小題1:∵點E、F在函數的圖象上，
∴設E（， ），F（，），＞0，＞0，
∴S₁=，S₂=。∵S₁＋S₂=2，∴ 。∴。…………4分
小題2:∵四邊形OABC為矩形，OA=2，OC=4，∴設 E(，2)， F(4，)。∴BE=4－，BF=2－。
∴S_△BEF= ，S△_OCF= ，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC－S_△BEF－S_△OCF= 8－()－=。
∴當=4時，S_{四邊形OAEF}=5。∴AE=2。
∴當點E運動到AB的中點時，四邊形OAEF的面積最大，最大值是5。…………………10分

（1）設E（x₁，），F（x₂，），x₁＞0，x₂＞0，根據三角形的面積公式得到S₁=S₂=k，利用S₁+S₂=2即可求出k；
（2）設E(，2)，F(4，)，利用S_{四邊形OAEF}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=- (k-4)²+5，根據二次函數的最值問題即可得到當k=4時，四邊形OAEF的面積有最大值，S_{四邊形OAEF}=5，此時AE=2．