Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，直線y=﹣2x﹣1與y軸交于點(diǎn)A，與直線y=﹣x交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C．

（Ⅰ）求過(guò)B，C兩點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx﹣1解析式；

（Ⅱ）P為拋物線上一點(diǎn)，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為Q．

①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（﹣1＜t＜1），當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PBQC面積最大？最大值是多少？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1；（Ⅱ）①P點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，1﹣）或（1+，1+）；②當(dāng)t=0時(shí)，四邊形PBQC的面積最大，最大值為2，理由見(jiàn)解析．

【解析】

（Ⅰ）首先求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；
（Ⅱ）①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，可知PQ⊥BC，則可求得直線PQ的解析式，聯(lián)立拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)；

②過(guò)P作PD⊥BC，垂足為D，作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)E，由∠PED=∠AOC，可知當(dāng)PE最大時(shí)，PD也最大，用t可表示出PE的長(zhǎng)，可求得取最大值時(shí)的t的值．

（Ⅰ）聯(lián)立兩直線解析式可得，

解得，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1），

又C點(diǎn)為B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣1），

∵直線y=﹣2x﹣1與y軸交于點(diǎn)A，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），

設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，

把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，

解得，

∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣1；

（Ⅱ）①當(dāng)四邊形PBQC為菱形時(shí)，則PQ⊥BC，

∵直線BC解析式為y=﹣x，

∴直線PQ解析式為y=x，

聯(lián)立拋物線解析式可得，

解得或，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣，1﹣）或（1+，1+）；

②當(dāng)t=0時(shí)，四邊形PBQC的面積最大．

理由如下：

如圖，過(guò)P作PD⊥BC，垂足為D，作x軸的垂線，交直線BC于點(diǎn)E，

則S四邊形PBQC=2S△PBC=2×BCPD=BCPD，

∵線段BC長(zhǎng)固定不變，

∴當(dāng)PD最大時(shí)，四邊形PBQC面積最大，

又∠PED=∠AOC（固定不變），

∴當(dāng)PE最大時(shí)，PD也最大，

∵P點(diǎn)在拋物線上，E點(diǎn)在直線BC上，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（t，t2﹣t﹣1），E點(diǎn)坐標(biāo)為（t，﹣t），

∴PE=﹣t﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+1，

∴當(dāng)t=0時(shí)，PE有最大值1，此時(shí)PD有最大值，PD的最大值=，

∴四邊形PBQC的面積最大值=．