Question

如圖1，點將線段分成兩部分，如果，那么稱點為線段的黃金分割點．某研究小組在進行課題學習時，由黃金分割點聯想到“黃金分割線”，類似地給出“黃金分割線”的定義：直線將一個面積為的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為，，如果，那么稱直線為該圖形的黃金分割線．

（1）研究小組猜想：在中，若點為邊上的黃金分割點（如圖2），則直線是的黃金分割線．你認為對嗎？為什么？

（2）請你說明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？

（3）研究小組在進一步探究中發現：過點任作一條直線交于點，再過點作直線，交于點，連接（如圖3），則直線也是的黃金分割線．

請你說明理由．

（4）如圖4，點是的邊的黃金分割點，過點作，交于點，顯然直線是的黃金分割線．請你畫一條的黃金分割線，使它不經過各邊黃金分割點．

Answer 1

證明：（1）直線是的黃金分割線．理由如下：

設的邊上的高為．

　　，，

所以，，．

又因為點為邊的黃金分割點，所以有．因此．

　  所以，直線是的黃金分割線．

�。�2）因為三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，此時，即

，所以三角形的中線不可能是該三角形的黃金分割線．

（3）因為，所以和的公共邊上的高也相等，

所以有．

設直線與交于點．所以．

所以

　      ，．

又因為，所以

因此，直線也是的黃金分割線．

（4）畫法不惟一，現提供兩種畫法；

畫法一：如答圖1，取的中點，再過點作一條直線分別交，于，點，則直線就是的黃金分割線．

畫法二：如答圖2，在上取一點，連接，再過點作交于點，連接，則直線就是的黃金分割線．