Question

【題目】已知，二次函數y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）圖象的頂點為C，與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），點C，B關于過點A的直線l對稱，直線l與y軸交于D．

（1）求A，B兩點坐標及直線l的解析式；

（2）求二次函數解析式；

（3）在第三象限拋物線上有一個動點E，連接OE交直線l于點F，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）點A、B的坐標分別為：（﹣3，0）、（1，0），直線l的表達式為：y＝﹣x﹣；（2）y＝；（3）．

【解析】

（1）對于y＝ax2＋2ax3a，令y＝0，則x＝3或1，求出點A、B的坐標，利用點C，B關于直線l對稱得AC＝AB＝4，求出a的值，進而求解；

（2）由（1）得到a的值，故可求解；

（3）利用△HEF∽△DOF，得到＝＝﹣x2﹣x+，即可求解．

（1）對于y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，則x＝﹣3或1，

則點A、B的坐標分別為：（﹣3，0）、（1，0），

則函數的對稱軸為：x＝﹣1，則頂點C坐標為：（﹣1，﹣4a），

∵點C，B關于直線l對稱，如下圖：

∴AC＝AB＝4，

即（﹣3+1）2+（0+4a）2＝42，

解得：a＝（負值已舍去），

故點C的坐標為：（﹣1，﹣2），

則BC＝＝4＝AB＝AC，

故△ABC為等邊三角形，

∵點C，B關于直線l對稱，

則BC∠⊥AD，故∠BAD＝30°，

∵tan30°=

則設直線l的表達式為：y＝﹣x+b，

將點A的坐標代入得0=﹣×3+b

并解得：b＝﹣，

故直線l的表達式為：y＝﹣x﹣；

（2）由（1）知a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2+x﹣；

（3）∵直線l的表達式為：y＝﹣x﹣；

∴點D的坐標為：（0，﹣），即OD＝，

過點E作y軸的平行線交AD于點H，

設點E（x，x2+x﹣），則點H（x，﹣x﹣），

則EH＝（﹣x﹣）﹣（x2+x﹣）＝﹣x2﹣x+，

∵HE∥y軸，

∴△HEF∽△DOF，

∴＝＝﹣x2﹣x+=-（x+）2+，

∵0，故有最大值，

當x＝﹣時，最大值為．