Question

【題目】如圖，點D為等腰直角△ABC內一點，∠ACB=90°，∠CAD=∠CBD=15°，E為AD延長線上一點，且CE=CA，給出以下結論：①DE平分∠BDC； ②△BCE是等邊三角形；③∠AEB=45°；④DE=AD+CD；正確的結論有_____．（請填序號）

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

①先根據等腰直角三角形的性質及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°，則AD=BD，再證明CD是邊AB的垂直平分線，得出∠ACD=∠BCD=45°，然后根據三角形外角的性質求出∠CDE=∠BDE=60°即可；
②先利用等角對等邊證BC=CE，再推得∠BCE=60°可得結論；
③利用差可求得結論：∠AEB=∠BEC-∠AEC；
④截取DG=DC，證明△DCG是等邊三角形，再證明△ACD≌△ECG，利用線段的和與等量代換可得結論．

解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴D在AB的垂直平分線上，
∵AC=BC，
∴C也在AB的垂直平分線上，
即直線CD是AB的垂直平分線，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°，
∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°；
∴∠CDE=∠BDE，
即DE平分∠BDC；
所以①正確；
②∵CA=CB，CA=CE，
∴CB=CE，
∵∠CAD=∠AEC=15°，
∴∠ACE=180°-15°-15°=150°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=150°-90°=60°，
∴△BCE是等邊三角形；
所以②正確；
③∵△BCE是等邊三角形，
∴∠BEC=60°，
∵∠AEC=15°，
∴∠AEB=60°-15°=45°，
所以③正確；
④在DE上取一點G，使DC=DG，連接CG，

∵∠EDC=60°，
∴△DCG是等邊三角形，
∴DC=DG=CG，∠DCG=60°，
∴∠GCE=150°-60°-45°=45°，
∴∠ACD=∠GCE=45°，
∵AC=CE，
∴△ACD≌△ECG，
∴EG=AD，
∴DE=EG+DG=AD+DC，
所以④正確；
正確的結論有：①②③④；
故答案為：：①②③④．