Question

【題目】如圖，點A是雙曲線y＝上的動點，連結AO并延長交雙曲線于點B，將線段AB繞B順時針旋轉60°得到線段BC，點C在雙曲線y＝上的運動，則k＝____．

Answer 1

【答案】﹣9．

【解析】

連接OC，易證AO⊥OC，OC=OA．由∠AOC=90°想到構造K型相似，過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，可證△AEO∽△OFC．從而得到OF=AE，FC=EO．設點A坐標為（a，b），則ab=3，設點C坐標為（x，y），從而有FCOF=-xy=-9，即k=xy=-9．

解：∵雙曲線y＝關于原點對稱，

∴點A與點B關于原點對稱．

∴OA＝OB．

連接OC，AC，如圖所示．

∵將線段AB繞B順時針旋轉60°得到線段BC，

∴△ABC是等邊三角形，OA＝OB，

∴OC⊥AB，∠BAC＝60°，

∴tan∠OAC＝＝，

∴OC＝OA．

過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，

∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO＝∠OFC，∠AOE＝90°﹣∠FOC＝∠OCF，

∴△AEO∽△OFC．

∴．

∵OC＝OA，

∴OF＝AE，FC＝EO．

設點A坐標為（a，b），

∵點A在第一象限，

∴AE＝a，OE＝b．

∴OF＝AE＝a，FC＝EO＝b．

∵點A在雙曲線y＝上，

∴ab＝3．

∴FCOF＝ba＝3ab＝9，

設點C坐標為（x，y），

∵點C在第四象限，

∴FC＝x，OF＝﹣y．

∴FCOF＝x（﹣y）＝﹣xy＝9．

∴xy＝﹣9．

∵點C在雙曲線y＝上，

∴k＝xy＝﹣9．

故答案為：﹣9．