Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的頂點B在x軸的正半軸上，已知∠OBA=90°，OB=3，sin∠AOB=．反比例函數y=（x＞0）的圖象經過點A．

（1）求反比例函數的解析式；

（2）若點C（m，2）是反比例函數y=（x＞0）圖象上的點，則在x軸上是否存在點P，使得PA+PC最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=；(2)、(5，0).

【解析】試題分析：(1)、首先求得點A的坐標，然后利用待定系數法求反比例函數的解析式即可；(2)、首先求得點A關于x軸的對稱點的坐標，然后求得直線A′C的解析式后求得其與x軸的交點即可求得點P的坐標．

試題解析：（1）∵∠OBA=90°，sin∠AOB=，可設AB=4a，OA=5a，

∴OB═=3a，又OB=3， ∴a=1， ∴AB=4， ∴點A的坐標為（3，4），

∵點A在其圖象上，∴4=，∴k=12；∴反比例函數的解析式為y=；

(2)、在x軸上存在點P，使得PA+PC最小．理由如下：

∵點C（m，2）是反比例函數y=（x＞0）圖象上的點，k=12， ∴2=，

∴m=6，即點C的坐標為（6，2）；

作點A（3，4）關于x軸的對稱點A′（3，﹣4），如圖，連結A′C．

設直線A'C的解析式為：y=kx+b， ∵A′（3，﹣4）與（6，2）在其圖象上，

∴，解得， ∴直線A'C的解析式為：y=2x﹣10， 令y=0，解得x=5，

∴P（5，0）可使PA+PC最小．