Question

在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F為BC的中點，連接DE、DF、EF，則結論：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當∠ABC=45°時，BE=

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DE中，一定正確的有（　　）

• A、2個
• B、3個
• C、4個
• D、5個

Answer 1

分析：根據直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定、銳角三角函數的定義可知．

解答：解：①∵BD、CE為高，∴∠BDC=∠CEB=90°，又∵F為BC的中點，∴DF=

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BC，EF=

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BC，∴DF=EF；
②∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，∴△ADB∽△AEC，∴AD：AB=AE：AC；
③∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵DF=CF，EF=BF，∴∠BEF+∠CDF=120°，∴∠BFE+∠CFD=120°，∴∠DFE=60°，又∵DF=EF，∴△DEF是等邊三角形；
④∵∠BAC=60°，BD、CE為高，
∴∠ABD=∠ACE=30°，
∴∠DBC+∠ECB=180°-∠A-∠ABD-∠ACE=60°，
∴∠CBD=60°-∠BCE，
∴BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC•[sin∠BCE+sin（60°-∠BCE）]，
不一定等于BC；
⑤∵∠ABC=45°，∴BE=

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BC=

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DE．
正確的共4個．
故選C．

點評：本題綜合性較強，有一定的難度．主要考查了直角三角形的性質、相似三角形的判定和性質、等邊三角形的判定、銳角三角函數的定義．