Question

在銳角△ABC中，a、b、c分別表示為∠A、∠B、∠C的對邊，O為其外心，則O點到三邊的距離之比為（　　）

• A、a：b：c
• B、

  1

  a

  ：

  1

  b

  ：

  1

  c

• C、cosA：cosB：cosC
• D、sinA：sinB：sinC

Answer 1

分析：此題可分別過三角形的三個頂點作⊙O的直徑，在構建的直角三角形中，根據圓周角定理和三角形中位線定理來求得三條弦心距的比例關系．

解答：解：如圖，過A作⊙O的直徑AG，連接BG，設⊙O的半徑為R；
∵AG是⊙O的直徑，
∴∠ABG=90°；
∵OD⊥AB，
∴OD∥BG；
又∵O是AG的中點，
∴OD是△ABG的中位線，即BG=2OD；
Rt△ABG中，∠G=∠C，
∴BG=AG•cosG=2R•cosC；
∴OD=R•cosC，即O到AB邊的距離為R•cosC；
同理可證得：OE=R•cosA，OF=R•cosB；
∴點O到三邊的距離之比為：（R•cosA）：（R•cosB）：（R•cosC）=cosA：cosB：cosC；
故選C．

點評：此題主要考查了三角形的外接圓、圓周角定理、三角形中位線定理、解直角三角形等知識的綜合應用；能夠正確的構建出與所求相關的直角三角形是解答此題的關鍵．