Question

如圖所示．?ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：∠EMC=3∠BEM．

Answer 1

證明：延長EM交DC的延長線于F，連接DM．
∵CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，
∴△MCF≌△MBE（AAS），
∴M是EF的中點．由于AB∥CD及DE⊥AB，
∴DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，
由直角三角形斜邊中線的性質知∠F=∠MDC，又由已知MC=CD，
∴∠MDC=∠CMD，
則∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
從而∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．