Question

已知四邊形ABCD是矩形，BC＞AB，直線MN分別與AB，BC交于E，F兩點，P為對角線AC上一動點（P不與A，C重合）．
（1）當點E，F分別為AB，BC的中點時，（如圖1）問點P在AC上運動時，點P，E，F能否構成直角三角形？若能，共有幾個？請在圖中畫出所有滿足條件的三角形．
（2）若AB=3，BC=4，P為AC的中點，當直線MN的移動時，始終保持MN∥AC，（如圖2）求△PEF的面積S_△PEF與FC的長x之間的函數關系式．

Answer 1

分析：（1）共有四個：①∠PEF=90°；②∠PFE=90°；③∠EPF=90°（兩種），此種情況，可以EF為直徑作圓，圓與AC的交點就是P點．
（2）由于三角形PEF的面積無法直接求出，可用三角形ABC的面積減去三角形AEP、BEF、CFP三個小三角形的和來求．
三角形BEF的面積可用三角形ABC的面積和它們的相似比來求出．
由于P是AC中點，而MN∥AC，根據等底等高的三角形面積相等可得出三角形AEP和CPF的面積相等，因此只需求出三角形FCP的面積即可．三角形PCF中，CF的長已知了為x，CF邊上的高可用PC的長和∠ACB的正弦值求出．
由此可得出三角形PEF的面積S與x的函數關系式．

解答：解：（1）能．以EF為直徑作圓，圓與AC的交點就是P點，P點位置如圖所示：
∴共有4個：①∠PEF=90°；②∠PFE=90°；③∠EPF=90°（兩種）；

（2）在矩形ABCD中
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5．
∵S_△ABC=

1

2

•BC•AB，
∴S_△ABC=6．
∵FC=x，
∴BF=4-x．
在△ABC中
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

S△BEF

S△ABC

=

BF2

BC2

．
∴

S△BEF

6

=

(4-x)2

42

．
∴S_△BEF=6×

(4-x)2

16

=

3

8

（x-4）²．
∵PA=PC，EF∥AC，
∴S_△AEP=S_△CPF=

1

2

FC•CP•sin∠ACB．
∵sin∠ACB=

3

5

，
∴S_△AEP=

1

2

×

5

2

x×

3

5

=

3

4

x．
∴S_△PEF=S_△ABC-（S_△BEF+S_△AEP+S_△CFP）
=6-[

3

8

（x-4）²+

3

4

x+

3

4

x]
=-

3

8

x²+

3

2

x（0＜x＜4）．

點評：本題主要考查了矩形的性質、圖形面積的求法以及二次函數的應用等知識點．