Question

已知四邊形ABCD是正方形，M、N分別是邊BC，CD上的動點．
（1）如圖①，設O是正方形ABCD對角線的交點，若OM⊥ON，求證：BM=CN，
（2）在（1）的條件下，若正方形ABCD的邊長為4cm，求四邊形MONC的面積；
（3）如圖②，若∠MAN=45°試說明△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半．

Answer 1

分析：（1）由正方形的性質可以得出△BOM≌△CON，由全等三角形的性質就可以得出ON=OM；
（2）由全等可以得出S_△BOM=S_△CNF，就可以得出S_{四邊形MONC}=S_△BOC，S_△BOC的面積就可以得出結論；  
（3）繞點A順時針旋轉△ADN90°得到△ABE，得出△ABE≌△ADN，由全等三角形的性質可以得出△ANM≌△AEM，進而有MN=ME=MB+BE，分別表示出C_△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC．C_{正方形ABCD}=AB+BC+CD+AD=4BC．從而可以得出結論．

解答：解：（1）證明：∵正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O
∴∠BOC=90°，∠OBC=∠OCD=45°，OB=OC，．AB=BC=DC=AD．
∵∠EOF=90°
∵∠BOM+∠MOC=90°，
∠NOC+∠MOC=90°
∴∠BOM=∠CON．
在△OBM和△OCN中，

∠BOM=∠CON OB=OC ∠OBC=∠OCD

，
△OBM≌△OCN（ASA）．
∴OM=ON；

（2）∵△OBM≌△OCN，
∴S_△OBM=S_△OCN．
∴S_△OBM+S_△MOC=S_△OCN+S_△MOC，
即S_△OBC=S_{四邊形MONC}．
∵S_△OBC=4×4×

1

4

=4，
∴S_{四邊形MONC}=4；

（3）繞點A順時針旋轉△ADN90°得到△ABE，
∴△ABE≌△ADN，
∴∠4=∠1．AE=AN，BE=DN．
∵∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°．
∵∠4+∠3=∠MAE=45°．
∴∠MAE=∠2．
在△ANM和△AEM中，

AN=AE ∠2=∠MAE AM=AM

，
∴△ANM≌△AEM（SAS），
∴MN=ME=MB+BE，
∴MN=DN+MB．
∵C_△MNC=MN+MC+CN，
∴C_△MNC=DN+MB+MC+CN=DC+BC=2BC．
∵C正方形ABCD=AB+BC+CD+AD=4BC．
∴△MCN的周長等于正方形ABCD周長的一半．

點評：本題考查了正方形的性質的運用，三角形的周長和正方形的周長的運用，全等三角形的判定及性質的運用，旋轉的性質的運用，解答時證明三角形全等得出OM=ON是關鍵．