Question

【題目】（1）如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B、C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是的平分線上一點，若，求證：為等腰三角形.下面給出此問題一種證明的思路，你可以按這一思路繼續完成證明，也可以選擇另外的方法證明此結論．證明：在AB邊上截取AE=MC，連接ME，在正方形ABCD中，，AB=BC，（下面請你連接AN，完成余下的證明過程）

（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是的平分線上一點，則當時，試探究是何種特殊三角形，并證明探究結論．

（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正邊形，試猜想：當的大小為多少時，（1）中的結論仍然成立？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）為等腰三角形，理由見解析；（2）．理由見解析

【解析】

（1）要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN；
（2）同（1），要證明AM=MN，可證AM與MN所在的三角形全等，為此，可在AB上取一點E，使AE=CM，連接ME，利用ASA即可證明△AEM≌△MCN，然后根據全等三角形的對應邊成比例得出AM=MN；
（3）由（1）（2）可知，∠AMN等于它所在的正多邊形的一個內角，即等于時，結論AM=MN仍然成立．

（1）證明：如圖1，在邊AB上截取AE=MC，連接ME．

∵正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC，
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=45°，
∴∠AEM=135°，
∵N是∠DCP的平分線上一點，
∴∠NCP=45°，
∴∠MCN=135°，
在△AEM與△MCN中，
，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN；

∴為等腰三角形.
（2）為等腰三角形，

證明：如圖2，在邊AB上截取AE=MC，連接ME．
在正△ABC中，∠B=∠BCA=60°，AB=BC，
∴∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAE，BE=AB-AE=BC-MC=BM，
∴∠BEM=60°，
∴∠AEM=120°，
∵N是∠ACP的平分線上一點，
∴∠ACN=60°，
∴∠MCN=120°，
在△AEM與△MCN中，
，
∴△AEM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN；

∴為等腰三角形.
（3）當∠AMN=時，結論為等腰三角形仍然成立．

∵當AM=MN時，△AEM≌△MCN，
此時∠NMC=∠MAE，
又∵∠AMN=180°-∠NMC-∠AMB，∠MAE=180°-∠BAM-∠AMB，
∴∠AMN=∠B=，
∴將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD…X，則
當∠AMN=時，結論為等腰三角形仍然成立．
故答案為：．