Question

【題目】如圖，AB＝16，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)C在線段OB上（不與點(diǎn)O，B重合），將OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)270°后得到扇形COD，AP，BQ分別切優(yōu)弧于點(diǎn)P，Q，且點(diǎn)P， Q在AB異側(cè)，連接OP．

（1）求證：AP＝BQ；

（2）當(dāng)BQ＝4時(shí)，求扇形COQ的面積及的長（結(jié)果保留π）；

（3）若△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部，請直接寫出OC的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）4＜OC＜8．

【解析】

試題（1）連接OQ．只要證明Rt△APO≌Rt△BQO即可解決問題；

（2）求出優(yōu)弧DQ的圓心角以及半徑即可解決問題；

（3）由△APO的外心是OA的中點(diǎn)，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OC的取值范圍為4＜OC＜8；

試題解析：（1）證明：連接OQ．

∵AP、BQ是⊙O的切線，∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，∴∠APO=∠BQO=90°，在Rt△APO和Rt△BQO中，∵OA=OB，OP=OQ，∴Rt△APO≌Rt△BQO，∴AP=BQ；

（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，∴∠AOP=∠BOQ，∴P、O、Q三點(diǎn)共線，∵在Rt△BOQ中，cosB=，∴∠B=30°，∠BOQ=60°，∴OQ=OB=4，∵∠COD=90°，∴∠QOD=90°+60°=150°，∴優(yōu)弧的長==；

（3）∵△APO的外心是OA的中點(diǎn)，OA=8，∴△APO的外心在扇形COD的內(nèi)部時(shí)，OC的取值范圍為4＜OC＜8．