Question

已知直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖,C、D兩點的坐標分別為(8,0)、(0,6).現有兩動點P、Q分別從A、C同時出發,點P沿折線ADC向終點C運動, 點Q沿線段CA向終點A運動,當P、Q兩點中有一點到達終點時,另一點也立即停止運動,設運動時間為t秒.

(1)填空：菱形ABCD的邊長是          ,面積是          ；
(2)探究下列問題：
①若點P的速度為每秒2.5個單位,點Q的速度為每秒3個單位,求△APQ的面積S關于t的函數關系式,并求出S的最大值；
②在運動過程中,能否使得△APQ繞它的一邊中點旋轉180°,旋轉前后兩個三角形組成的四邊形為矩形,若存在,求出t的值；若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）10,24；（2）①S最大=16；②或.

試題分析：（1）根據勾股定理可求得菱形ABCD的邊長是10,用菱形的面積公式即可求出面積；
（2）①分情況討論P點的位置,借助三角形相似進行計算；
②分別討論當∠APQ=90°時,當∠AQP=90°時,t的取值即可.
試題解析：（1）10,24；
（2）①當P點在AD上時（0<t<4）
由題意,得AP=2.5t,AQ=16－3t.
如圖1,過點P作PG⊥AC,垂足為G,則 △APG∽△ADO,

∴,
∴PG=,
∴.
當P點在CD上時,Q先到終點,故 
AD+DP=2.5t,CQ==3t,則AQ=16-3t,CP=20-2.5t,
過點P作PG⊥AC,垂足為G,則 △PCH∽△DCO,

∴,
∴PH=12-,
∴.
當0<t<4時,,
當4≤t＜時,對稱軸為t= ,
根據二次函數的增減性t=4,S最大=12,
綜上可知：S最大="16" ；
②∵△APQ繞它的一邊中點旋轉180°,旋轉前后兩個三角形組成的四邊形為矩形,
∴△APQ為直角三角形.
當∠APQ=90°時,

AP=2.5t,CQ=3t,則AQ=16－3t.
∵∠APQ=∠AOD=90°
∠PAQ=∠DAO
∴△APG∽△ADO,
∴,
∴ 
∴ 
當∠AQP=90°時,

AP=2.5t,CQ=3t,則AQ=16－3t.
∵∠AQP=∠AOD=90°
∠PAQ=∠DAO
∴△APG∽△ADO,
∴,
∴ 
∴ 
∴當或時,△APQ繞它的一邊中點旋轉180°,旋轉前后兩個三角形組成的四邊形為矩形.