Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線經過點，且與軸的一個交點為．

（1）求拋物線的表達式；

（2）是拋物線與軸的另一個交點，點的坐標為，其中，△的面積為．

①求的值；

②將拋物線向上平移個單位，得到拋物線．若當時，拋物線與軸只有一個公共點，結合函數的圖象，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②答案見解析.

【解析】試題分析：（1）將A、B的坐標代入拋物線解析式求出b、c即可；（2）①過A作AF⊥x軸與點F，如圖1，首先求出D的坐標，再根據△ADE的面積可求出DE的長度，接著可求出OE的長度即m的值；②利用拋物線的平移變換，可設拋物線C2的表達式為y=（x－1）2－4+n，接下去分類討論：求出拋物線過點E和過原點時對應的n的值，并畫出圖像，利用圖像可確定n的范圍；當拋物線頂點再x軸上時，求出n的值.綜上得到n的取值范圍.

試題解析：

（1）∵拋物線C1：y=x2+bx+c經過點A（2，－3），且與x軸的一個交點為B（3，0），

∴，

解得，

∴拋物線C1解析式為y=x2－2x－3；

（2）

①過A作AF⊥x軸與點F，如圖1，

∵y=x2－2x－3=（x－1）2－4，

∴拋物線對稱軸為：x=1，

∴D（－1，0），

∵E（m，0），m＞0，

∴S△ADE=DE·AF=DE×3=，

∴DE=，

∴m=OE=DE－OD=.

②

設拋物線C2的表達式為y=（x－1）2－4+n，

如圖2，當拋物線C2經過E（，0）時，

（－1）2－4+n=0，解得n=；

當拋物線C2經過原點時，

（0－1）2－4+n=0，解得n=3；

∵0≤x≤時，拋物線C2與x軸只有一個公共點，

∴結合圖像可知，當≤n＜3時，符合題意.

令y=0，（x－1）2－4+n=0，

由題意得，b2－4ac=16－4n=0，解得n=4.

綜上， ≤n＜3或n=4.