Question

【題目】如圖，在ABCD中，過A、C、D三點的⊙O交AB于點E，連接DE、CE，∠CDE=∠BCE．

（1）求證：AD=CE；

（2）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若BC=4，DE=10，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）直線BC與⊙O相切；（3）；

【解析】

（1）由平行四邊形的性質得出∠AED=∠EDC，證出=,

即可得出AD=CE；
（2）作直徑CF，連接EF，則∠EFC=∠EDC，證出∠EFC=∠BCE，再由CF是 O的直徑，得出∠FEC=90°，得出∠BCF=90°，即可得出結論；
（3）證明△BCE∽△EDC，得出對應邊成比例，即可得出結果．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠AED=∠EDC．

∴=，

∴AD=CE；

（2）解：直線BC與⊙O相切，理由如下：

如圖所示：作直徑CF，連接EF．

則∠EFC=∠EDC，

∵∠BCE=∠CDE，

∴∠EFC=∠BCE，

∵CF是⊙O的直徑，

∴∠FEC=90°，

∴∠EFC+∠FCE=90°，

∴∠BCE+∠FCE=90°

∴∠BCF=90°，

∴OC⊥CB．

∴直線BC與⊙O相切；

（3）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD=BC，AB∥CD，

由（1）得：AD=CE，

∴BC=CE，

∵AB∥CD，

∴∠BEC=∠DCE．

又∵∠BCE=∠CDE，

∴△BCE∽△EDC，

∴=，

∵BC=4∴CE=4，

即 =，

解得，BE=．