Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD，連接CD交AB于點M．E是線段CM上的點，連接BE．F是△BDE的外接圓與AD的另一個交點，連接EF，BF，

（1）求證：△BEF是直角三角形；

（2）求證：△BEF∽△BCA；

（3）當AB=6，BC=m時，在線段CM正存在點E，使得EF和AB互相平分，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

(1)想辦法證明∠BEF=90°即可解決問題（也可以利用圓內接四邊形的性質直接證明）．

(2)根據兩角對應相等兩三角形相似證明．

(3)證明四邊形AFBE是平行四邊形，推出FJ=BD=m，EF=m，由△ABC∽△CBM，可得BM=，由△BEF∽△BCA，推出，由此構建方程求解即可.

（1）證明：由折疊可知，∠ADB=∠ACB=90°

∵∠EFB=∠EDB，∠EBF=∠EDF，

∴∠EFB+∠EBF=∠EDB+∠EDF=∠ADB=90°，

∴∠BEF=90°，

∴△BEF是直角三角形．

(2) 證明：∵BC=BD，

∴∠BDC=∠BCD，

∵∠EFB=∠EDB，

∴∠EFB=∠BCD，

∵AC=AD，BC=BD，

∴AB⊥CD，

∴∠AMC=90°，

∵∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠CAB=90°，

∴∠BCD=∠CAB，

∴∠BFE=∠CAB，

∵∠ACB=∠FEB=90°，

∴△BEF∽△BCA．

(3) 設EF交AB于J．連接AE，如下圖所示：

∵EF與AB互相平分，

∴四邊形AFBE是平行四邊形，

∴∠EFA=∠FEB=90°，即EF⊥AD，

∵BD⊥AD，

∴EF∥BD，

∵AJ=JB，

∴AF=DF，

∴ FJ=

∴ EF=

∵ △ABC∽△CBM

∴ BC:MB=AB:BC

∴ BM=，

∵ △BEJ∽△BME，

∴ BE:BM=BJ:BE

∴ BE=，

∵ △BEF∽△BCA，

∴

即

解得(負根舍去).

故答案為：