Question

【題目】小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對折矩形紙片ABCD(AB>BC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處，再折出PB、PC，最后用筆畫出△PBC(圖1)．

（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形：

（2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN，其中IJ=6cm，

且HM=JN．

①求證：IH=IJ

②請求出NJ的長；

（3）小明發現：在矩形紙片中，若一邊長為6cm，當另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同．請根據小明的發現，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應的a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②12-6（3）3＜a＜4，a＞4

【解析】（1）由折疊的性質和垂直平分線的性質得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；

（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15°，繼而可得∠NQJ=30°，設NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據IJ=IQ+QJ求出x即可得；

（3）由等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理進行計算，畫出圖形即可．

（1）證明：∵①對折矩形紙片ABCD(AB>BC)，使AB與DC重合，得到折痕EF

∴PB=PC

∵沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處

∴PB=BC

∴PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形：

（2）證明：①如圖

∵矩形AHIJ

∴∠H=∠J=90°

∵△MNJ是等邊三角形

∴MI=NI

在Rt△MHI和Rt△JNI中

∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）

∴HI=IJ

②在線段IJ上取點Q，使IQ=NQ

∵Rt△IHM≌Rt△IJN，

∴∠HIM=∠JIN，

∵∠HIJ=90°、∠MIN=60°，

∴∠HIM=∠JIN=15°，

由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15°，

∴∠NQJ=30°，

設NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，

∵IJ=6cm，

∴2x+x=6，

∴x=12-6，即NJ=12-6（cm）．

（3）分三種情況：

①如圖：

設等邊三角形的邊長為b，則0＜b≤6，

則tan60°=，

∴a=，

∴0＜b≤=；

②如圖

當DF與DC重合時，DF=DE=6，

∴a=sin60°×DE==，

當DE與DA重合時，a=，

∴＜a＜；

③如圖

∵△DEF是等邊三角形

∴∠FDC=30°

∴DF=

∴a＞