Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+(k-1)x-k與直線y=kx+1交于A、B兩點，點A在點B的左側．

（1）如圖1，當k=1時，直接寫出A，B兩點的坐標；

（2）在（1）的條件下，點P為拋物線上的一個動點，且在直線AB下方，試求出△ABP面積的最大值及此時點P的坐標；

（3）如圖2，拋物線y=x2+(k-1)x-k(k＞0)與x軸交于點C、D兩點（點C在點D的左側），是否存在實數k使得直線y=kx+1與以O、C為直徑的圓相切？若存在，請求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），B（2，3）；（2）△ABP面積最大值為，此時點P坐標為（，﹣）；（3）存在，k=時，使得直線y=kx+1與以OC為直徑的圓相切．

【解析】

（1）當k=1時，聯立拋物線與直線的解析式，解方程求得點A、B的坐標；
（2）如答圖2，作輔助線，求出△ABP面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出最大值及點P的坐標；
（3）設直線y=kx+1與以O、C為直徑的圓相切的切點為Q，以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，由圓周角定理可知，此時∠OQC=90°且點Q為唯一．以此為基礎，構造相似三角形，利用比例式列出方程，求得k的值．需要另外注意一點是考慮直線AB是否與拋物線交于C點，此時不存在．

解：（1）當k=1時，拋物線解析式為y=x2-1，直線解析式為y=x+1．
聯立兩個解析式，得：x2-1=x+1，
解得：x=-1或x=2，
當x=-1時，y=x+1=0；當x=2時，y=x+1=3，
∴A（-1，0），B（2，3）．

（2）設P（x，x2-1），

如答圖1所示，過點P作PF//y軸，交直線AB于點F，則F（x，x+1）．

∴PF=yF﹣yP=（x+1）﹣（x2﹣1）=﹣x2+x+2．

S△ABP=S△PFA+S△PFB=PF（xF﹣xA）+PF（xB﹣xF）=PF（xB﹣xA）=PF

∴S△ABP=（﹣x2+x+2）=﹣（x﹣）2+．當x=時，yP=x2﹣1=﹣．

∴△ABP面積最大值為，此時點P坐標為（，﹣）．

（3）設直線AB：y=kx+1與x軸、y軸分別交于點E、F，

則E（﹣，0），F（0，1），OE=，OF=1．

在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF==． 令y=x2+（k﹣1）x﹣k=0，即（x+k）（x﹣1）=0，解得：x=﹣k或x=1． ∴C（﹣k，0），OC=k．

（Ⅰ）設直線y=kx+1與以O、C為直徑的圓相切的切點為Q，如答圖2所示，

則以OC為直徑的圓與直線AB相切于點Q，根據圓周角定理，此時∠OQC=90°．

設點N為OC中點，連接NQ，則NQ⊥EF，NQ=CN=ON=．∴EN=OE﹣ON=﹣．

∵∠NEQ=∠FEO，∠EQN=∠EOF=90°，∴△EQN∽△EOF，

∴=，即=解得：k=±，∵k＞0，∴k=．

∴存在實數k使得直線y=kx+1與以OC為直徑的圓相切，

此時k=．

（Ⅱ）若直線AB過點C時，此時直線與以OC為直徑的圓要相切，必有AB⊥x軸，

而直線AB的解析式為y=kx+1，∴不可能相切．

綜上所述，k=時，使得直線y=kx+1與以OC為直徑的圓相切．