Question

【題目】已知，拋物線（a＜0）與x軸交于A（3，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在y軸C點(diǎn)的上方，且CE=．

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）求證：直線DE是△ACD外接圓的切線；

（3）在直線AC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，使，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（4）在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)M，使以點(diǎn)B、C、M為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)D（1，4）；（2）證明見解析；（3）P（， ）或（， ）；（4）（0，0）或（9，0）或（0，﹣）．

【解析】試題分析：（1）由對稱軸求出B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求出拋物線解析式，即可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）由勾股定理和勾股定理的逆定理證出△ACD為直角三角形，∠ACD=90°．得出AD為△ACD外接圓的直徑，再證明△AED為直角三角形，∠ADE=90°．得出AD⊥DE，即可得出結(jié)論；

（3）求出直線AC的解析式，再求出線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)，過點(diǎn)N作NP∥AC，交拋物線于點(diǎn)P，求出直線NP的解析式，與拋物線聯(lián)立，即可得出答案；

（4）由相似三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．

試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x=1，點(diǎn)A（3，0），∴根據(jù)拋物線的對稱性知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，0），OA=3，將A（3，0），B（﹣1，0）代入拋物線解析式中得： ，解得： ，∴拋物線解析式為；當(dāng)x=1時(shí)，y=4，∴頂點(diǎn)D（1，4）．

（2）當(dāng)=0時(shí)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），∴AC= =，CD==，AD= =，∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD為直角三角形，∠ACD=90°，∴AD為△ACD外接圓的直徑，∵點(diǎn)E在 軸C點(diǎn)的上方，且CE=，∴E（0， ），∴AE= =，DE= =，∴DE2+AD2=AE2，∴△AED為直角三角形，∠ADE=90°，∴AD⊥DE，又∵AD為△ACD外接圓的直徑，∴DE是△ACD外接圓的切線；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得： ，解得： ，∴直線AC的解析式為y=﹣x+3，∵A（3，0），D（1，4），∴線段AD的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，2），過點(diǎn)N作NP∥AC，交拋物線于點(diǎn)P，設(shè)直線NP的解析式為y=﹣x+c，則﹣2+c=2，解得：c=4，∴直線NP的解析式為y=﹣x+4，由y=﹣x+4，y=﹣x2+2x+3聯(lián)立得：﹣x2+2x+3=﹣x+4，解得：x=或x=，∴y=，或y=，∴P（， ）或（， ）；

（4）分三種情況：①M恰好為原點(diǎn)，滿足△CMB∽△ACD，M（0，0）；

②M在x軸正半軸上，△MCB∽△ACD，此時(shí)M（9，0）；

③M在y軸負(fù)半軸上，△CBM∽△ACD，此時(shí)M（0，﹣ ）；

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）或（0，﹣ ）．