Question

如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（-3，0）、（0，4），拋物線y=

2

3

x2+bx+c經過B點，且頂點在直線x=

5

2

上．
（1）求拋物線對應的函數關系式；
（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，當四邊形ABCD是菱形時，試判斷點C和點D是否在該拋物線上，并說明理由；
（3）在（2）的前提下，若M點是CD所在直線下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N．設點M的橫坐標為t，MN的長度為l．求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線上A、B點的坐標以及拋物線的對稱軸方程，可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）首先求出AB的長，將A、B的坐標向右平移AB個單位，即可得出C、D的坐標，再代入拋物線的解析式中進行驗證即可．
（3）根據C、D的坐標，易求得直線CD的解析式；那么線段MN的長實際是直線BC與拋物線的函數值的差，可將x=t代入兩個函數的解析式中，得出的兩函數值的差即為l的表達式，由此可求出l、t的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出l取最大值時，點M的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=

2

3

x2+bx+c的頂點在直線x=

5

2

上，
∴可設所求拋物線對應的函數關系式為y=

2

3

(x-

5

2

)2+m（1分）
∵點B（0，4）在此拋物線上，
∴4=

2

3

×(-

5

2

)2+m
∴m=-

1

6

（3分）
∴所求函數關系式為：y=

2

3

(x-

5

2

)2-

1

6

=

2

3

x2-

10

3

x+4（4分）

（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴AB=

OA2+OB2

=5
∵四邊形ABCD是菱形
∴BC=CD=DA=AB=5（5分）
∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0）；（6分）
當x=5時，y=

2

3

×5²-

10

3

×5+4=4
當x=2時，y=

2

3

×2²-

10

3

×2+4=0
∴點C和點D在所求拋物線上；（7分）

（3）設直線CD對應的函數關系式為y=kx+b′，
則

5k+b′=4 2k+b′=0

；
解得：

k= 4 3 b′= - 8 3

；
∴y=

4

3

x-

8

3

（9分）
∵MN∥y軸，M點的橫坐標為t，
∴N點的橫坐標也為t；
則y_M=

2

3

t2-

10

3

t+4，y_N=

4

3

t-

8

3

，（10分）
∴l=y_N-y_M=

4

3

t-

8

3

-（

2

3

t2-

10

3

t+4）=-

2

3

t2+

14

3

t-

20

3

=-

2

3

(t-

7

2

)2+

3

2

∵-

2

3

＜0，
∴當t=

7

2

時，l_最大=

3

2

，y_M=

2

3

t2-

10

3

t+4=

1

2

．
此時點M的坐標為（

7

2

，

1

2

）．（12分）

點評：此題考查了一次函數、二次函數解析式的確定，菱形的性質，圖象的平移變換，二次函數的應用等知識．