Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸，y軸的正半軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿折線向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，求證：；

（3）當(dāng)點(diǎn)N在線段上時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)直線與拋物線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)；

（4）設(shè)的長(zhǎng)度為n，直接寫(xiě)出在點(diǎn)M移動(dòng)的過(guò)程中，的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）略；（3）0或4或；（4）

【解析】

（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，把代入解析式，求出a和c，即可得出函數(shù)解析式.

（2）易知△MON是等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)N在AC上時(shí)，證△AMO≌△CNO即可得到AM=CN.

(3)當(dāng)N在BC上時(shí)，易得MN⊥OC,由30度角的直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理列方程求解即可.

（4）求最值問(wèn)題，先找出點(diǎn)M、N的運(yùn)動(dòng)軌跡，確定其在什么位置時(shí)有最值.再利用數(shù)形結(jié)合求解.

（1）將B(4,0),C(0,4)代入y=a+c得:

,

∴.

(2)由已知可得A（-4，0），

∴AO=CO=4,

∠MAO=∠NCO=45°,

由旋轉(zhuǎn)可知OM=ON，又∵∠NOM=60°,

∴△MON是等邊三角形，∠NMO=∠MNO =60°,

∴∠AMO=∠CNO,

∴△AOM≌△CON,

∴AM=CN;

(3)當(dāng)N在BC上時(shí)，分兩種情況：

① M在AC上，如圖所示:此時(shí)MN∥x軸，與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥OB交OB于點(diǎn)E.可設(shè)N（a,4-a）,

∵△MON為等邊三角形,

∴ND=a, OD=4-a,ON=2a,

由勾股定理可得+=,

解得-2, -2(不合題意，舍去),

∴OD=4-a＝6-,

∴MN與拋物線圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是6-;

② M在BC上，如圖所示，

此時(shí)MN所在直線與拋物線交于點(diǎn)B、C.

∴MN與拋物線圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0或4.

綜上，直線MN與拋物線圖象交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是0或4或6-

(4)作等邊△AOD、等邊△OCE,

△AOM繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)60°與△ODN重合得∠CAO＝∠EDO＝45°,

當(dāng)M在AC上時(shí)，點(diǎn)N的軌跡是經(jīng)過(guò)D且與OD成45°的一條線段DE.

∴的最大值為＝+＝48.

同理，當(dāng)M在BC上時(shí)，N的軌跡為線段EF.

的最小值為B到EF的距離BP.

∵△OEF為等腰直角三角形，∴OH＝2,

由E（），F(2, )可得直線解析式y=(2+)x-(4+),

可得G（-4，0），∴OG=-4,BG=8-,

由△BPG∽△OGH可得=,

得BP= 此時(shí)＝=8-,

∴8-≤48.