Question

【題目】如圖，正方形中．對角線AC、BD交于點．點，點分別在線段，線段上，且，連接交于，連接交于，

（1）如圖1，若點為線段中點，求的長；

（2）如圖2，若平分，求證：；

（3）如圖3，點在線段(含端點)上運動．連接，當線段長度取得最大值時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）BF=-1；（2）證明見解析；（3）cos∠HDO=．

【解析】

（1）根據正方形的性質可得OA=OB，AB=OB，由點E為OB的中點可得OE=OB，利用勾股定理列方程可求出OE的長，進而可求出AB的長，根據AF=OE，即可求出BF的長；

（2）如圖，延長DG，交AB于M，根據角平分線的定義及外角的性質可得AD=DE，根據等腰三角形的性質及角的和差關系可證明DG垂直平分AE，根據直角三角形兩銳角互余的性質可證明∠AMG=∠AHG，可得AM=AH，根據等腰三角形“三線合一”的性質可得MG=GH，根據∠BFO=∠AMG可得FG=MG，即可得出FG=GH；

（3）如圖，連接BH，可知BH≥HE，可得當點E與點B重合時，HE取得最大值，當點E與點B重合時，OB=AF，過點F作FN⊥BD于N，設OB=x，則AB=x，BF=，由∠ABD=45°可得△BFN是等腰直角三角形，可得BN=BF，根據DN=BD-BN可表示出DN的長，利用勾股定理可得DF=，根據余弦的定義即可得答案．

（1）四邊形ABCD時正方形，

∴OA=OB，AB=OB，

∵點為線段中點，

∴OE=OB=OA，

∵AE=，

∴OE2+（2OE）2=AE2，即5OE2=5，

解得：OE=1，（負值舍去）

∴OB=2，AB=，

∵AF=OE，

∴BF=AB-AF=-1．

（2）如圖，延長DG，交AB于M，

∵AE平分∠BAC，∠BAC=45°，

∴∠BAE=∠EAO=22.5°，

∵∠AED=∠ABE+∠BAE=45°+22.5°=67.5°，∠DAE=∠DAO+∠EAO=45°+22.5=67.5°，

∴∠AED=∠DAE，

∴AD=DE=AB，

∵OE=AF，

∴AB-AF=DE-OE，即OD=BF，

∵OD=OB，

∴OB=BF，

∴∠BOF=∠BFO=（180°-45°）=67.5°，

∴∠AOG=90°-∠BOF=22.5°，∠BOF=∠AED，

∴EG=OG，∠EAO=∠AOG，

∴AG=EG=OG，

∴DG垂直平分AE，

∴∠AMG=90°-∠BAE=67.5°，∠AHG=90°-EAO=67.5°，

∴∠AMG=∠AHG=∠BFO，

∴FG=MG，AM=AH，

∵∠BAE=∠EAO，

∴MG=GH，

∴FG=GH．

（3）如圖，連接BH，

∵點E在OB上運動，∠BOH=90°，

∴BH≥HE，

∴當點E與點B重合時，HE取最大值，

如圖，當點E與點B重合時，過點F作FN⊥BD于N，設OB=x，則AB=，

∵OE=AF，

∴BF=（-1）x，

∵∠ABO=45°，

∴△FBN是等腰直角三角形，

∴BN=BF=x，

∴DN=BD－BN=2x-x=x，

∵AF=x，AD =AB =x，

∴DF==x，

∴cos∠HDO==．