Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，∠BAC的平分線交⊙O于點D，過D點作EF∥BC交AB的延長線于點E，交AC的延長線于點F．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）若sin∠ABC=

4

5

，CF=1，求⊙O的半徑及EF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD；
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°；
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA；
又∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴∠ODA=∠DAC，
∴OD∥AF，
∴∠ODE=∠AFD=90°，
即OD⊥EF；
又∵EF過點D，
∴EF是⊙O的切線．

（2）連接BD，CD；
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADB=∠AFD；
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠DAC，
∴BD=CD；
設BD=CD=a；
又∵EF是⊙O的切線，
∴∠CDF=∠DAC，
∴∠CDF=∠OAD=∠DAC，
∴△CDF∽△ABD∽△ADF，
∴

CF

CD

=

BD

AB

CF

DF

=

DF

AF

；
∵sin∠ABC=

AC

AB

=

4

5

，
∴設AC=4x，AB=5x，
∴

1

a

=

a

5x

a²=5x，
∴在Rt△CDF中DF²=CD²-CF²=5x-1；
又∵

CF

DF

=

DF

AF

，
∴5x-1=1×（1+4x），
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=4x=8；
∵EF∥BC，
∴△ABC∽△AEF，
∴

AB

AE

=

AC

AF

，

10

AE

=

8

9

，AE=

45

4

，
∴在Rt△AEF中，EF=

AE2-AF2

=

( 45 4 )2-92

=

27

4

．